浙江師范大學碩士研究生入學考試數(shù)學分析科目考試大綱
學習頻道 來源: 浙江師范大學 2024-07-20 大 中 小
浙江師范大學碩士研究生入學考試初試科目
考 試 大 綱
科目代碼、名稱:681數(shù)學分析
適用專業(yè):070100數(shù)學(一級學科)、071101系統(tǒng)理論、071400統(tǒng)計學(一級學科)
一、考試形式與試卷結(jié)構(gòu)
(一)試卷滿分 及 考試時間
本試卷滿分為150分,考試時間為180分鐘。
(二)答題方式
答題方式為閉卷、筆試。
試卷由試題和答題紙組成;答案必須寫在答題紙(由考點提供)相應的位置上。
(三)試卷題型結(jié)構(gòu)
全卷一般由九個大題組成,具體分布為
是非判斷題:3小題,每小題6分,共18分
簡答題:2~3小題,每小題6分,共12~18分
計算題:5~6小題,每題8分,約40~48分
分析論述題(包括證明、討論、綜合計算):6大題,每題10~15分,約70~80分
二、考查目標(復習要求)
要求考生掌握數(shù)學分析課程的基本概念、基本定理和基本方法,能夠運用數(shù)學分析的理論分析、解決相關(guān)問題。
三、考查范圍或考試內(nèi)容概要
本課程考核內(nèi)容包括實數(shù)理論和連續(xù)函數(shù)、一元微積分學、級數(shù)、多元微積分學等等。
第一章 實數(shù)集與函數(shù)
1.了解鄰域,上確界、下確界的概念和確界原理。
2.掌握函數(shù)復合、基本初等函數(shù)、初等函數(shù)及常用特性。
(單調(diào)性、周期性、奇偶性、有界性等)
3.掌握基本初等不等式及應用。
第二章 數(shù)列極限
1.熟練掌握數(shù)列極限的ε-N定義。
2.掌握收斂數(shù)列的常用性質(zhì)。
3.熟練掌握數(shù)列收斂的判別條件
(單調(diào)有界原理、迫斂性定理、Cauchy準則、壓縮映射原理、Stolz變換等)。
4.能夠熟練求解各類數(shù)列的極限。
第三章 函數(shù)極限
1.深刻領(lǐng)會函數(shù)極限的“ε-δ”定義及其它變式。
2.熟練掌握函數(shù)極限存在的條件及判別。
(歸結(jié)原則,柯西準則,左、右極限、單調(diào)有界等)。。
3.熟練應用兩個重要極限求解較復雜的函數(shù)極限。
4.理解無窮小量、無窮大量的概念;會應用等價無窮小求極限;
熟悉等價無窮小、同階無窮小、高階無窮小及其性質(zhì)。
第四章 函數(shù)連續(xù)性
1.掌握函數(shù)在某點及在區(qū)間上連續(xù)的幾種等價定義,尤其是ε-δ定義。
2.熟悉函數(shù)間斷點及類型。
3.熟練掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的三大性質(zhì)及其應用。
4.熟練掌握區(qū)間上一致連續(xù)函數(shù)的定義、判斷和應用。
5.知道初等函數(shù)的連續(xù)性。
第五章 導數(shù)和微分
1.掌握導數(shù)的定義、幾何意義,領(lǐng)悟其思想內(nèi)涵;熟悉單邊導數(shù)概念及應用。
2.掌握求導四則運算法則、熟記基本初等函數(shù)的導數(shù)。
3.熟練掌握復合函數(shù)求導的鏈式法則。
4.掌握參量函數(shù)、隱函數(shù)的求導法、對數(shù)求導法。
5.熟練掌握乘積函數(shù)求導的Leibniz公式。
6.掌握微分的概念,領(lǐng)悟其思想內(nèi)涵;并會用微分進行近似計算。
7.熟練掌握復合函數(shù)微分及一階微分形式不變性。
8.理解連續(xù)、可導、可微之間的關(guān)系。
9.熟練掌握高階導數(shù)的各種求解方法。
第六章 微分中值定理及其應用
1.熟練掌握微分中值定理及其應用,會證明中值點 的存在性問題。
2.熟練運用洛必達法則求極限。
3.熟練掌握單調(diào)區(qū)間、極值、最值的求法。
4.熟練掌握Taylor公式思想、方法及應用。
5.掌握曲線的凹凸性及拐點的求法,并掌握凸函數(shù)及性質(zhì)。
6.熟練應用函數(shù)單調(diào)性、凹凸性等等工具證明函數(shù)不等式。
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第七章 實數(shù)完備性
1.了解區(qū)間套、覆蓋、有限覆蓋、聚點等等的含義。
2.掌握實數(shù)完備性各定理的具體內(nèi)容,領(lǐng)悟其證明的思想內(nèi)涵。
實數(shù)完備性構(gòu)成數(shù)學分析的理論核心,其重要性不言而喻。
3.掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有界性、最值性、介值性、一致連續(xù)性定理的證明。
4.理解上極限、下極限的概念和等價敘述。
第八章 不定積分
1.知道原函數(shù)與不定積分的概念。
2.熟練掌握換元法、分部積分法。
3.會計算有理函數(shù)的積分。
4.會計算三角函數(shù)有理式、某些簡單無理式的積分。
第九章 定積分
1.深刻領(lǐng)會定積分的定義和性質(zhì)。
2.深刻理解微積分基本定理,并會熟練應用。
3.熟練掌握換元法、分部積分法計算定積分。
4.知道可積條件和可積類。
第十章定積分的應用
1.熟練掌握平面圖形面積的計算。
2.熟練掌握旋轉(zhuǎn)體或已知截面面積的體積。
3.會利用定積分求孤長、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積。
第十一章 反常積分
1.了解反常積分收斂性定義。
2.熟練掌握反常積分斂散性判別法(Cauchy、Abel、Dirichlet三大判別法),重點在無窮積分。
第十二章 數(shù)項級數(shù)
1.知道級數(shù)收斂和發(fā)散的定義、性質(zhì)。
2.熟練掌握正項級數(shù)收斂的各種判別法。
(比較判別法、比式判別法、根式判別法、拉貝判別法、積分判別法等)
3.熟練掌握條件收斂、絕對收斂及Leibniz、Abel、Dirichlet三大判別法。
4.理解條件收斂、絕對收斂級數(shù)的特殊性質(zhì)。
第十三章 函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)
1.深刻理解函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)一致收斂的ε-N定義。
2.熟練掌握函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別法。
3.熟練掌握一致收斂函數(shù)列和一致收斂函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)。
第十四章 冪級數(shù)
1.掌握冪級數(shù)收斂域、收斂半徑以及和函數(shù)的求法,知道冪級數(shù)的若干性質(zhì)。
2.熟練掌握函數(shù)的冪級數(shù)展開的方法。
3.會求冪級數(shù)的和函數(shù)及某些數(shù)項級數(shù)的和。
第十五章 傅里葉級數(shù)
1.熟記以 周期的付里葉系數(shù)公式,會求函數(shù)的傅里葉展式。
2.掌握余弦級數(shù),正弦級數(shù)的求法。
3.理解收斂性定理,掌握Bessel不等式、Lebesgue引理等幾個重要定理。
4.知道Parseval等式并運用其求某些數(shù)項級數(shù)的和。
第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)
1.了解平面點集的若干概念、平面點集的完備性定理。
2.掌握二元函數(shù)之二重極限、二次極限的定義和計算。
3.掌握二元函數(shù)連續(xù)性及其性質(zhì)。
第十七章 多元函數(shù)微分學
1.掌握全微分和偏導數(shù)的概念、了解其幾何性質(zhì)。
2.會計算偏導數(shù)和全微分,會計算高階偏導數(shù)(尤其是二階偏導數(shù))。
3.熟練掌握多元復合函數(shù)求導的鏈式法則、理解一階全微分形式不變性。
4.掌握二元函數(shù)連續(xù)、偏導數(shù)連續(xù)、可微、可偏導之間的多角關(guān)系。
5.知道二元函數(shù)中值定理與Taylor公式。
6.熟練掌握多元函數(shù)極值、最值的求解方法,并會運用于解決實際問題。
7.了解方向?qū)?shù)與梯度及其幾何、物理意義。
第十八章 隱函數(shù)定理及其應用
1.理解隱函數(shù)(組)定理。
2.會求隱函數(shù)(組)的微分。
3.會求空間曲線的切線與法平面,會求空間曲面的切平面與法線。
4.熟練掌握條件極值的Lagrange乘數(shù)法。
第十九章 含參量積分
1.掌握含參量正常積分的定義及性質(zhì)。
2.熟練掌握含參量反常積分一致收斂定義、判別法。
3.熟練掌握一致收斂含參量反常積分的性質(zhì)(連續(xù)性、可導性、可積性)。
4.掌握Euler積分并用于計算某些反常積分;
掌握用積分號下求導數(shù)等方法計算某些積分和反常積分。
第二十章 曲線積分
1.理解第一、二型曲線積分的概念及物理意義。
2.熟練掌握兩型曲線積分的基本參數(shù)計算公式。
3.熟練掌握格林公式。
4.掌握第二型曲線積分與路徑無關(guān)的條件,會求全微分式的原函數(shù)。
第二十一章 重積分
1.知道二重積分、三重積分定義與性質(zhì),理解分割、求和、取極限三部曲內(nèi)涵。
2.熟練掌握二重積分、三重積分的直角坐標計算---化為累次積分。
3.熟練掌握二重積分、三重積分的變量替換。重點是極坐標變換、柱坐標變換球坐標變換及廣義球坐標變換。
4.知道重積分幾何應用,會求曲面面積、重心坐標等。
第二十二章 曲面積分
1.理解第一、二型曲面積分的概念及物理意義;了解兩種曲面積分的轉(zhuǎn)換關(guān)系。
2.掌握兩型曲面積分的直角坐標計算公式。
3.熟練掌握Gauss公式和Stokes公式。
注:以上內(nèi)容凡要求深刻理解、深刻領(lǐng)會、熟練掌握者皆是考試和復習之重點內(nèi)容。
要求理解、領(lǐng)會、掌握者重要性相對次之。
參考教材或主要參考書:
1.數(shù)學分析(上、下冊),華東師大編,(2001年后的任意版本),高等教育出版社.
2. 數(shù)學分析解題數(shù)學與方法,楊傳林,浙江大學出版社,2008版。
3. 數(shù)學分析中的典型問題與方法,裴禮文,高等教育出版社。
四、樣卷
見往年試卷。
陽光文庫 http://m.e-deep.com.cn/wenku/學習關(guān)鍵字:
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