浙江師范大學碩士研究生入學考試初試科目

考　試　大　綱

科目代碼、名稱:681數(shù)學分析

適用專業(yè):070100數(shù)學（一級學科）、071101系統(tǒng)理論、071400統(tǒng)計學（一級學科）

一、考試形式與試卷結(jié)構(gòu)

（一）試卷滿分 及 考試時間

本試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。

（二）答題方式

答題方式為閉卷、筆試。

試卷由試題和答題紙組成；答案必須寫在答題紙（由考點提供）相應的位置上。

（三）試卷題型結(jié)構(gòu)

全卷一般由九個大題組成，具體分布為

是非判斷題：3小題，每小題6分，共18分

簡答題：2～3小題，每小題6分，共12～18分

計算題：5～6小題，每題8分，約40～48分

分析論述題（包括證明、討論、綜合計算）：6大題，每題10～15分，約70～80分

二、考查目標（復習要求）

 要求考生掌握數(shù)學分析課程的基本概念、基本定理和基本方法，能夠運用數(shù)學分析的理論分析、解決相關(guān)問題。

三、考查范圍或考試內(nèi)容概要

本課程考核內(nèi)容包括實數(shù)理論和連續(xù)函數(shù)、一元微積分學、級數(shù)、多元微積分學等等。

第一章　實數(shù)集與函數(shù)

1．了解鄰域，上確界、下確界的概念和確界原理。

2．掌握函數(shù)復合、基本初等函數(shù)、初等函數(shù)及常用特性。

（單調(diào)性、周期性、奇偶性、有界性等）

3．掌握基本初等不等式及應用。

第二章　數(shù)列極限

1．熟練掌握數(shù)列極限的ε-N定義。

2．掌握收斂數(shù)列的常用性質(zhì)。

3．熟練掌握數(shù)列收斂的判別條件

（單調(diào)有界原理、迫斂性定理、Cauchy準則、壓縮映射原理、Stolz變換等）。

4．能夠熟練求解各類數(shù)列的極限。

第三章　函數(shù)極限

1．深刻領(lǐng)會函數(shù)極限的“ε-δ”定義及其它變式。

2．熟練掌握函數(shù)極限存在的條件及判別。

（歸結(jié)原則，柯西準則，左、右極限、單調(diào)有界等）。。

3．熟練應用兩個重要極限求解較復雜的函數(shù)極限。

4．理解無窮小量、無窮大量的概念；會應用等價無窮小求極限；

熟悉等價無窮小、同階無窮小、高階無窮小及其性質(zhì)。

第四章　函數(shù)連續(xù)性

1．掌握函數(shù)在某點及在區(qū)間上連續(xù)的幾種等價定義，尤其是ε-δ定義。

2．熟悉函數(shù)間斷點及類型。

3．熟練掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的三大性質(zhì)及其應用。

 4．熟練掌握區(qū)間上一致連續(xù)函數(shù)的定義、判斷和應用。

5．知道初等函數(shù)的連續(xù)性。

第五章　導數(shù)和微分

1．掌握導數(shù)的定義、幾何意義，領(lǐng)悟其思想內(nèi)涵；熟悉單邊導數(shù)概念及應用。

2．掌握求導四則運算法則、熟記基本初等函數(shù)的導數(shù)。

3．熟練掌握復合函數(shù)求導的鏈式法則。

4．掌握參量函數(shù)、隱函數(shù)的求導法、對數(shù)求導法。

5．熟練掌握乘積函數(shù)求導的Leibniz公式。

6．掌握微分的概念，領(lǐng)悟其思想內(nèi)涵；并會用微分進行近似計算。

7．熟練掌握復合函數(shù)微分及一階微分形式不變性。

 8．理解連續(xù)、可導、可微之間的關(guān)系。

9．熟練掌握高階導數(shù)的各種求解方法。

第六章　微分中值定理及其應用

1．熟練掌握微分中值定理及其應用，會證明中值點 的存在性問題。

2．熟練運用洛必達法則求極限。

3．熟練掌握單調(diào)區(qū)間、極值、最值的求法。

4．熟練掌握Taylor公式思想、方法及應用。

5．掌握曲線的凹凸性及拐點的求法，并掌握凸函數(shù)及性質(zhì)。

6．熟練應用函數(shù)單調(diào)性、凹凸性等等工具證明函數(shù)不等式。

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第七章　實數(shù)完備性

1．了解區(qū)間套、覆蓋、有限覆蓋、聚點等等的含義。

2．掌握實數(shù)完備性各定理的具體內(nèi)容，領(lǐng)悟其證明的思想內(nèi)涵。

   實數(shù)完備性構(gòu)成數(shù)學分析的理論核心，其重要性不言而喻。

3．掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有界性、最值性、介值性、一致連續(xù)性定理的證明。

 4．理解上極限、下極限的概念和等價敘述。

第八章　不定積分

1．知道原函數(shù)與不定積分的概念。

2．熟練掌握換元法、分部積分法。

3．會計算有理函數(shù)的積分。

4．會計算三角函數(shù)有理式、某些簡單無理式的積分。

第九章　定積分

1．深刻領(lǐng)會定積分的定義和性質(zhì)。

2．深刻理解微積分基本定理，并會熟練應用。

3．熟練掌握換元法、分部積分法計算定積分。

4．知道可積條件和可積類。

第十章定積分的應用

1．熟練掌握平面圖形面積的計算。

2．熟練掌握旋轉(zhuǎn)體或已知截面面積的體積。

3．會利用定積分求孤長、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積。

第十一章　反常積分

1．了解反常積分收斂性定義。

2．熟練掌握反常積分斂散性判別法（Cauchy、Abel、Dirichlet三大判別法），重點在無窮積分。

第十二章　數(shù)項級數(shù)

1．知道級數(shù)收斂和發(fā)散的定義、性質(zhì)。

2．熟練掌握正項級數(shù)收斂的各種判別法。

 （比較判別法、比式判別法、根式判別法、拉貝判別法、積分判別法等）

3．熟練掌握條件收斂、絕對收斂及Leibniz、Abel、Dirichlet三大判別法。

4．理解條件收斂、絕對收斂級數(shù)的特殊性質(zhì)。

第十三章　函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)

1．深刻理解函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)一致收斂的ε-N定義。

2．熟練掌握函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別法。

3．熟練掌握一致收斂函數(shù)列和一致收斂函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)。

第十四章　冪級數(shù)

1．掌握冪級數(shù)收斂域、收斂半徑以及和函數(shù)的求法，知道冪級數(shù)的若干性質(zhì)。

2．熟練掌握函數(shù)的冪級數(shù)展開的方法。

3．會求冪級數(shù)的和函數(shù)及某些數(shù)項級數(shù)的和。

第十五章　傅里葉級數(shù)

1．熟記以 周期的付里葉系數(shù)公式，會求函數(shù)的傅里葉展式。

2．掌握余弦級數(shù)，正弦級數(shù)的求法。

3．理解收斂性定理，掌握Bessel不等式、Lebesgue引理等幾個重要定理。

4．知道Parseval等式并運用其求某些數(shù)項級數(shù)的和。

第十六章　多元函數(shù)的極限與連續(xù)

1．了解平面點集的若干概念、平面點集的完備性定理。

2．掌握二元函數(shù)之二重極限、二次極限的定義和計算。

3．掌握二元函數(shù)連續(xù)性及其性質(zhì)。

第十七章　多元函數(shù)微分學

1．掌握全微分和偏導數(shù)的概念、了解其幾何性質(zhì)。

2．會計算偏導數(shù)和全微分，會計算高階偏導數(shù)（尤其是二階偏導數(shù)）。

3．熟練掌握多元復合函數(shù)求導的鏈式法則、理解一階全微分形式不變性。

4．掌握二元函數(shù)連續(xù)、偏導數(shù)連續(xù)、可微、可偏導之間的多角關(guān)系。

5．知道二元函數(shù)中值定理與Taylor公式。

6．熟練掌握多元函數(shù)極值、最值的求解方法，并會運用于解決實際問題。

7．了解方向?qū)��?shù)與梯度及其幾何、物理意義。

第十八章　隱函數(shù)定理及其應用

1．理解隱函數(shù)（組）定理。

2．會求隱函數(shù)（組）的微分。

3．會求空間曲線的切線與法平面，會求空間曲面的切平面與法線。

4．熟練掌握條件極值的Lagrange乘數(shù)法。

第十九章　含參量積分

1．掌握含參量正常積分的定義及性質(zhì)。

2．熟練掌握含參量反常積分一致收斂定義、判別法。

3．熟練掌握一致收斂含參量反常積分的性質(zhì)（連續(xù)性、可導性、可積性）。

4．掌握Euler積分并用于計算某些反常積分；

掌握用積分號下求導數(shù)等方法計算某些積分和反常積分。

第二十章　曲線積分

1．理解第一、二型曲線積分的概念及物理意義。

2．熟練掌握兩型曲線積分的基本參數(shù)計算公式。

3．熟練掌握格林公式。

4．掌握第二型曲線積分與路徑無關(guān)的條件，會求全微分式的原函數(shù)。

第二十一章　重積分

1．知道二重積分、三重積分定義與性質(zhì)，理解分割、求和、取極限三部曲內(nèi)涵。

2．熟練掌握二重積分、三重積分的直角坐標計算---化為累次積分。

3．熟練掌握二重積分、三重積分的變量替換。重點是極坐標變換、柱坐標變換球坐標變換及廣義球坐標變換。

4．知道重積分幾何應用，會求曲面面積、重心坐標等。

第二十二章　曲面積分

1．理解第一、二型曲面積分的概念及物理意義；了解兩種曲面積分的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

2．掌握兩型曲面積分的直角坐標計算公式。

3．熟練掌握Gauss公式和Stokes公式。

注：以上內(nèi)容凡要求深刻理解、深刻領(lǐng)會、熟練掌握者皆是考試和復習之重點內(nèi)容。

   要求理解、領(lǐng)會、掌握者重要性相對次之。

參考教材或主要參考書：

1．數(shù)學分析（上、下冊），華東師大編，（2001年后的任意版本），高等教育出版社.

2. 數(shù)學分析解題數(shù)學與方法，楊傳林，浙江大學出版社，2008版。

3. 數(shù)學分析中的典型問題與方法，裴禮文，高等教育出版社。

四、樣卷

見往年試卷。