《高等代數(shù)》考試大綱

科目名稱：高等代數(shù)                               

科目代碼：834

一、 考試目的

本考試大綱適用于報(bào)考河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)專業(yè)的碩士研究生《高等代數(shù)》科目的入學(xué)考試。它的主要目的是測(cè)試考生是否系統(tǒng)地學(xué)習(xí)和掌握了高等代數(shù)的知識(shí)，代數(shù)的思維方式，以及現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想和方法．要求考生具有一定的抽象思維能力、較強(qiáng)的邏輯推理能力和運(yùn)算能力。

二、考試的性質(zhì)與范圍

　　本考試是一種測(cè)試應(yīng)試者綜合運(yùn)用所學(xué)的《高等代數(shù)》的知識(shí)的尺度參照性水平考試。考試范圍包括高等代數(shù)的基本的概念，理論和方法，考察考生的理解、分析、解決代數(shù)問題的能力。

三、考試基本要求

　　1. 熟練掌握高等代數(shù)的基本概念、命題、定理；

　　2. 綜合運(yùn)用所學(xué)的高等代數(shù)的知識(shí)的能力

四、考試形式

　　閉卷

五、考試題型

　　計(jì)算題、證明題

六、考試內(nèi)容（或知識(shí)點(diǎn)）

　　1.多項(xiàng)式

　　數(shù)域，一元多項(xiàng)式，整除的概念，最大公因式，因式分解定理，重因式，復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解，有理系數(shù)多項(xiàng)式。

　　2、行列式

　　排列，n級(jí)行列式的定義和性質(zhì)，行列式按一行（列）展開，克拉默（Cramer）法則，范德蒙行列式，拉普拉斯（Laplace）定理，k級(jí)子式。

　　3. 線性方程組

　　消元法，n維向量空間，線性相關(guān)性，向量組和矩陣的秩，線性方程組有解判別定理，線性方程組解的結(jié)構(gòu)。

　　4. 矩陣

　　矩陣的概念，矩陣的線性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置、方陣的冪與方陣的乘積的行列式與秩，矩陣的逆，矩陣的分塊，初等矩陣，矩陣的等價(jià)，分塊矩陣乘法的初等變換，對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣，正交矩陣，施密特正交化過程。

　　5. 二次型

　　線性替換，n元二次型，二次型的矩陣，標(biāo)準(zhǔn)型，規(guī)范形，慣性定理，正定（半正定）二次型。

　  6. 線性空間

　　集合、映射，線性空間的定義與簡單性質(zhì)，維數(shù)、基與坐標(biāo)，基變換與坐標(biāo)變換，線性子空間，子空間的交與和，子空間的直和，線性空間的同構(gòu)。

　 7. 線性變換

　　線性變換的定義，線性變換的運(yùn)算，線性變換的矩陣，特征值與特征向量，線性變換的矩陣在某組基下的矩陣是對(duì)角矩陣的條件，線性變換的值域與核，不變子空間。

　  8. λ-矩陣

　　λ-矩陣的定義，λ-矩陣在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)型，不變因子，矩陣相似的條件，初等因子，若當(dāng)（Jordan）標(biāo)準(zhǔn)形，最小多項(xiàng)式。

　  9. 歐幾里得空間

　　定義與基本性質(zhì)，標(biāo)準(zhǔn)正交基，同構(gòu)，子空間，正交變換的定義和性質(zhì)，對(duì)稱變換的定義和性質(zhì)。

七、參考書目

(1) 高等代數(shù). 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系. 高等教育出版社，出版年2003.

八、樣卷(附后)

河南工業(yè)大學(xué)

2015年碩士研究生入學(xué)考試試題

考試科目： 837高等代數(shù)(A)                     共   2   頁（第  1  頁）      

注意：1、本試題紙上不答題，所有答案均寫在答題紙上

      2、本試題紙必須連同答題紙一起上交。

一、（15分）計(jì)算行列式 。

二、（15分）設(shè) 是 矩陣， 是齊次線性方程組 的基礎(chǔ)解系， 是齊次線性方程組 的一個(gè)解，證明：

  (1) 線性無關(guān)；

  (2)  的任意一個(gè)解可以由 線性表示。

三、（15分）已知 為3階矩陣，且滿足 ,其中 為3階單位矩陣。

 證明 可逆； 若 ，求矩陣 。

四、（15分）已知 為4階矩陣，若滿足 ，且行列式 。

 求矩陣 的特征值； 證明矩陣 可相似對(duì)角化； 計(jì)算行列式 。

五、（15分）設(shè)有三元二次型 ，其矩陣 主對(duì)角線元素之和為 ，且滿足 ，其中 。

（1）用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,并寫出所用正交變換；

（2）求此二次型； （3）求 。

六、（15分）設(shè) 與 分別是齊次線性方程組 與 的解空間,http://www.xuecan.net/其中 是 中的一組給定的滿足       的數(shù),證明： 。

七、（15分）若 是 階矩陣,當(dāng)有一個(gè)常數(shù)項(xiàng)不為零的多項(xiàng)式 ,使 ,則 的特征值一定全不為 。

八、（15分）設(shè) ，求 。

九、（15分）設(shè) 是 維線性空間， 是 的子空間，如果 .

證明：存在線性變換  ，使 。

十、（15分）證明：如果 則 。