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珠海市2013年9月高三摸底考試文科
數(shù)學(xué)試題及其答案
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上填涂相應(yīng)選項(xiàng).
1.已知集合 ， ，則 （ �。�
A. B. C. D.
2.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間 上單調(diào)遞增的函數(shù)為（ �。�
A． B． C． D．
3．設(shè) 為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù) 等于（ ）
A． B． C． D．
4． 的值為（ �。�
A． B． C． D．
5．中心在原點(diǎn)的雙曲線，一個(gè)焦點(diǎn)為 ，一個(gè)焦點(diǎn)到最近頂點(diǎn)的距離是 ，則雙曲線的方程是（ �。�
A． B． C． D．
6．如右圖所示，一個(gè)空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長為1的
正方形，俯視圖是一個(gè)直徑為1的圓，那么這個(gè)幾何體的全面積為（ �。�
A． B． C． D．
7．經(jīng)過圓 的圓心且與直線 平行的直線方程是（ �。�
A． B． C． D．
8．已知實(shí)數(shù) 滿足 ，則目標(biāo)函數(shù) 的最大值為（ ）
A． B． C． D．
9.如右上圖，在 中，點(diǎn) 是 邊上靠近 的三等分點(diǎn)，則 （ �。�
A． B． C． D．
10．用 表示非空集合 中元素的個(gè)數(shù)，定義 若 ， ，且 ，設(shè)實(shí)數(shù) 的所有可能取值構(gòu)成集合 ，則 （ ） A． B． C． D．
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，考生作答4小題，滿分20分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計(jì)算前一題得分．請(qǐng)將答案填在答題卡相應(yīng)位置.
11.設(shè)等比數(shù)列 的公比 ，則 ．
12.直線 是函數(shù) 的切線，則實(shí)數(shù) ．
13.在 中， ， ，且 的面積為 ，則邊 的長為_________.
14．（幾何證明選講選做題）如右圖，圓 的割線 交圓
于 、 兩點(diǎn)，割線 經(jīng)過圓心。已知 ，
， 。則圓 的半徑 ．
15．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系 中，直線 （ ）被圓 截得的弦的長是 ．
三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本題滿分12分）已知函數(shù) ， ．
（1）求 的值； （2）若 ，且 ，求 .
17. （本題滿分12分）為了對(duì)某課題進(jìn)行研究，用分層抽樣方法從三所高校A,B,C的相關(guān)人員中，抽取若干人組成研究小組，有關(guān)數(shù)據(jù)見下表（單位：人）：
高校 相關(guān)人數(shù) 抽取人數(shù)
A 18
B 36 2
C 54
（1）求 , ；
(2)若從高校B、C抽取的人中選2人作專題發(fā)言，
求這2人都來自高校C的概率.
18．（本題滿分14分）在邊長為 的正方形 中， 分別為 的中點(diǎn)， 分別為 的中點(diǎn)，現(xiàn)沿 折疊，使 三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為B，構(gòu)成一個(gè)三棱錐．
（1）請(qǐng)判斷 與平面 的位置關(guān)系，并給出證明；
（2）證明 平面 ；
（3）求四棱錐 的體積．
19．（本題滿分14分）數(shù)列 的各項(xiàng)均為正數(shù)， 為其前 項(xiàng)和，對(duì)于任意的 ，總有 成等差數(shù)列．
(1)求 ；
(2)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；
(3)設(shè)數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，且 ，求證:對(duì)任意正整數(shù) ，總有 ．
20．（本題滿分14分）已知點(diǎn) 、 ，若動(dòng)點(diǎn) 滿足 ．
（1）求動(dòng)點(diǎn) 的軌跡曲線 的方程；
（2）在曲線 上求一點(diǎn) ，使點(diǎn) 到直線： 的距離最�。�
21．（本題滿分14分）已知函數(shù) 滿足 ， 且 在 上恒成立.
(1)求 的值；
(2)若 ,解不等式 ；
(3)是否存在實(shí)數(shù) ，使函數(shù) 在區(qū)間 上有最小值 ？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù) 的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
珠海市2013年9月高三摸底考試
試題與參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上填涂相應(yīng)選項(xiàng).
1.（集合）已知集合 ， ，則 （ �。�
A. B. C. D.
2.（函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間 上單調(diào)遞增的函數(shù)為（ �。�
A． B． C． D．
3．（復(fù)數(shù)的除法）設(shè) 為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù) 等于（ �。�
A． B． C． D．
4．（三角函數(shù)） 的值為（ �。�
A． B． C． D．
5．（圓錐曲線）中心在原點(diǎn)的雙曲線，一個(gè)焦點(diǎn)為 ，一個(gè)焦點(diǎn)到最近頂點(diǎn)的距離是 ，則雙曲線的方程是（ �。�
A． B． C． D．
6．（三視圖）如右圖所示，一個(gè)空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長為1的
正方形，俯視圖是一個(gè)直徑為1的圓，那么這個(gè)幾何體的全面積為（ ）
A． B． C． D．
7．（直線與圓）經(jīng)過圓 的圓心且與直線 平行的直線方程是（ �。�
A． B． C． D．
8．（線性規(guī)劃）已知實(shí)數(shù) 滿足 ，則目標(biāo)函數(shù) 的最大值為（ �。�
A． B． C． D．
9.（向量）如右上圖，在 中，點(diǎn) 是 邊上靠近 的三等分點(diǎn)，則 （ �。�
A． B． C． D．
10．（信息題）用 表示非空集合 中元素的個(gè)數(shù)，定義
若 ， ，且 ，設(shè)實(shí)數(shù) 的所有可能取值構(gòu)成集合 ，則 （ ） A． B． C． D．
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計(jì)算前一題得分．請(qǐng)將答案填在答題卡相應(yīng)位置.
11.（等比數(shù)列）設(shè)等比數(shù)列 的公比 ，則 ．
12.（導(dǎo)數(shù)）直線 是函數(shù) 的切線，則實(shí)數(shù) ．
13.（解三角形）在 中， ， ，且 的面積為 ，則邊 的長為___ ______.
14．（幾何證明選講選做題）如右圖，圓 的割線 交圓
于 、 兩點(diǎn)，割線 經(jīng)過圓心。已知 ，
， 。則圓 的半徑 ．
15．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系 中，直線 （ ）被圓 截得的弦的長是 ．
三、解答題：本大題共6小題，12分+12分+14分+14分+14分+14分=80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（三角函數(shù)）已知函數(shù) ，
（1）求 的值； （2）若 ，且 ，求 .
解: (1)
…………………………………………………………………………2分
(2)
因?yàn)?，且 ，所以 ……………………………………11分
所以 ……………………12分
高校 相關(guān)人數(shù) 抽取人數(shù)
A 18
B 36 2
C 54
17.（概率）為了對(duì)某課題進(jìn)行研究，用分層抽樣方法從三所高校A,B,C的相關(guān)人員中，抽取若干人組成研究小組，有關(guān)數(shù)據(jù)見下表（單位：人）
（1）求 , ；
(2)若從高校B、C抽取的人中選2人作專題發(fā)言，
求這2人都來自高校C的概率.
解: (1)由題意可得: ,即 ……………………………………………………………2分
,即 …………………………………………………………4分
(2)設(shè)事件 ：2人都來自高校C……………………………………………………………5分
記高校 的兩人為 ，高校 的兩人為
則選取2人的所包含的基本事件共有： ， ， ， ，
， ， ， ， ， 共有10種情況…………………9分
選取2人都來自高校C的所包含的基本事件有： ， ， 共3種情況……11分
所以 …………………………………………………………………12分
18．（立幾）在邊長為 的正方形 中， 分別為 的中點(diǎn)， 分別為 的中點(diǎn)，現(xiàn)沿 折疊，使 三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為 ，構(gòu)成一個(gè)三棱錐．
（1）請(qǐng)判斷 與平面 的位置關(guān)系，并給出證明；
（2）證明 平面 ；
（3）求四棱錐 的體積．
解：（1） 平行平面 ……………………………………………………………………2分
證明：由題意可知點(diǎn) 在折疊前后都分別是 的中點(diǎn)（折疊后 兩點(diǎn)重合）
所以 平行 …………………………………………………………………………………3分
因?yàn)?，所以 平行平面 ………………………………………………5分
（2）證明：由題意可知 的關(guān)系在折疊前后都沒有改變
因?yàn)樵谡郫B前 ，由于折疊后 ，點(diǎn) ，所以 …6分
因?yàn)?，所以 平面 …………………………………10分
（3） …………………………………………………………11分
……………………………………………………………12分
………………………………………………13分
……………………………………………………………………………14分
19．（數(shù)列）數(shù)列 的各項(xiàng)均為正數(shù)， 為其前 項(xiàng)和，對(duì)于任意的 ，總有 成等差數(shù)列
(1)求 ；
(2)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；
(3)設(shè)數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，且 ，求證:對(duì)任意正整數(shù) ，總有
解：（1）由已知：對(duì)于任意的 ，總有 成等差數(shù)列
……………………………………………………………………………2分
令 ， 即
又因?yàn)閿?shù)列 的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以 …………………………………………………4分
（2） ①
②……………………………………………………………………5分
由①-②得：
即 即
均為正數(shù) ………………………………………7分
∴數(shù)列 是公差為1的等差數(shù)列
…………………………………………9分
（3） ………………………………10分
當(dāng) 時(shí)， ……………………………………………………11分
當(dāng) 時(shí)，
…………………………13分
所以對(duì)任意正整數(shù) ，總有 ………………………………………………………………14分
20.（解幾綜合）已知點(diǎn) 、 ，若動(dòng)點(diǎn) 滿足 ．
（1）求動(dòng)點(diǎn) 的軌跡曲線 的方程；
（2）在曲線 上求一點(diǎn) ，使點(diǎn) 到直線： 的距離最�。�
解：（1）設(shè)點(diǎn) 坐標(biāo)為 ，則 ， ， ， .
因?yàn)?，所以 ，化簡得 .
所以動(dòng)點(diǎn) 的軌跡為 ……………………………………………………………………6分
(2) 點(diǎn) 在 上，設(shè)點(diǎn) 坐標(biāo)為 ， .…………………8分
記 到直線 的距離為
，……………………12分
當(dāng) 時(shí) 有最小值 ，……………………………………………………………13分
此時(shí)點(diǎn) 坐標(biāo)為 .………………………………………………………………14分
21．（導(dǎo)數(shù)綜合）已知函數(shù) 滿足 ， 且 在 上恒成立.
(1)求 的值；
(2)若 ,解不等式 ；
(3)是否存在實(shí)數(shù) ，使函數(shù) 在區(qū)間 上有最小值 ？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù) 的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
解：（1） ；
……………………………………………1分
恒成立；
即 恒成立；
顯然 時(shí)，上式不能恒成立；……………………………………………………2分
∴ ，由于對(duì)一切 則有：
，即 ，解得： ；…………………………………………3分
∴ ， ………………………………………………………………………………………4分
（2）
由 得： ；…………………………………5分
即 ，即 ；
∴當(dāng) ，…………………………………………………………………………6分
………………………………………………………7分
當(dāng) ……………………………………………………………8分
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù) 使函數(shù) 在區(qū)間 上有最小值－5.
圖象開口向上且對(duì)稱軸為
①當(dāng) ，此時(shí)函數(shù) 在區(qū)間 上是遞增的；
解得 與 矛盾 ；………………………………………………10分 ②
當(dāng) ，此時(shí)函數(shù) 在區(qū)間 上是遞減的，而在區(qū)間
上是遞增的，
即
解得 ；
……………………………………………12分
③當(dāng) ，此時(shí)函數(shù) 在區(qū)間 上遞減的；
即
解得 ,滿足
綜上知：當(dāng) 時(shí)， 在 上有最小值－5………………………………14分
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