北京市西城區(qū)2014年高三一模試卷

    數(shù)   學(xué)（文科）        2014.4

第Ⅰ卷（選擇題  共40分）

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．

1．設(shè)全集，集合，則集合（   ）（A）（B）（C）（D）

2．已知平面向量，，那么等于（   ）（A）（B）（C）（D）

3．已知雙曲線的虛軸長是實(shí)軸長的2倍，則此雙曲線的離心

率為（   ）（A）（B）（C）（D）

4．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（   ）

（A）

（B）

（C）

（D）

5．下列函數(shù)中，對(duì)于任意，同時(shí)滿足條件和的函數(shù)是（   ）（A）（B）（C）（D）

6． 設(shè)，且，則“函數(shù)在上是減函數(shù)”是“函數(shù)在

上是增函數(shù)”的（   ）（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件

7．某企業(yè)為節(jié)能減排，用9萬元購進(jìn)一臺(tái)新設(shè)備用于生產(chǎn). 第一年需運(yùn)營費(fèi)用2萬元，從第二年起，每年運(yùn)營費(fèi)用均比上一年增加2萬元，該設(shè)備每年生產(chǎn)的收入均為11萬元. 設(shè)該設(shè)備使用了年后，盈利總額達(dá)到最大值（盈利額等于收入減去成本），則n等于（    ）                           （A）（B）5（C）6（D）7

8. 如圖，設(shè)為正四面體表面（含棱）上與頂點(diǎn)不重合的一點(diǎn)，由點(diǎn)P到四個(gè)頂點(diǎn)的距離組成的集合記為M，如果集合M中有且只有2個(gè)元素，那么符合條件的點(diǎn)P有（     ）（A） 4個(gè)（B）6個(gè)（C）10個(gè)（D）14個(gè)

第Ⅱ卷（非選擇題  共110分）

二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．9．，其中，則______．10．的焦點(diǎn)在直線上，則_____；的準(zhǔn)線方程為_____．

．若，則實(shí)數(shù)______；函數(shù)的最大值為_____．12．執(zhí)行如圖所示的程序框，那么輸出的a值為______．．表示的平面區(qū)域是一個(gè)

四邊形，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.

14．中，，，，，，P為線段（含端點(diǎn)）上一個(gè)動(dòng)點(diǎn). 設(shè)，，記，則____； 函數(shù)的值域?yàn)開________.

三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．

15．13分）

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c. .

（Ⅰ）的大��；

（Ⅱ），，求的值.

16．13分）

某批次的某種燈泡壽命進(jìn)行追蹤調(diào)查，將結(jié)果列成頻率分布表如下. 根據(jù)壽命將燈泡分成三個(gè)等級(jí)，壽命大于或等于500天的燈泡是優(yōu)等品，壽命小于300天的燈泡是次品，其余的燈泡是正品. 

壽命（天）頻數(shù)頻率0307060合計(jì)（Ⅰ）根據(jù)頻率分布表中的數(shù)據(jù)，寫出a，b的值；

（Ⅱ）某人從這燈泡中隨機(jī)地購買了1個(gè)，求此燈泡恰好是品的概率；

（Ⅲ）某人從這批燈泡中隨機(jī)地購買了個(gè)，如果這n個(gè)燈泡的等級(jí)恰好與按等級(jí)分層抽樣所得的結(jié)果相同，求n的最小值.14分）

如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，，， N是棱的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面； 

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）在棱SC上是否存在點(diǎn)P，使得平面平面?若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

18．13分）

已知函數(shù)，其中．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；

（Ⅱ），，求的取值范圍．

19．14分）

已知橢圓的焦距為2，過右焦點(diǎn)和短軸一個(gè)端點(diǎn)的直線的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（）求橢圓W的方程. 

（）設(shè)斜率為的直線l與W相交于兩點(diǎn)，記面積的最大值為，證明：. 

20．13分）

在數(shù)列中，. 從數(shù)列中選出項(xiàng)并按原順序組成的新數(shù)列記為，并稱為數(shù)列的項(xiàng)子列. 例如數(shù)列為的一個(gè)4項(xiàng)子列.

（）試寫出的一個(gè)3項(xiàng)子列，并使為等比數(shù)列； 

（）為的一個(gè)項(xiàng)子列，且為等數(shù)列，證明：滿足；

（）為的一個(gè)6項(xiàng)子列，且為等比數(shù)列，證明：.．．．．．．．．．．

11．                          12．． ．

注：第10、11、14題第一問2分，第二問3分. 

三、解答題：本大題共6小題，共80分. 其他正確解答過程，請(qǐng)參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分. 

15．13分） 

（Ⅰ）解：因?yàn)?，

      所以 ，                             ……………… 4分

      又因?yàn)?，

所以 .                                              ……………… 6分

（Ⅱ）解：因?yàn)?，，

所以 ，                             ………………8分

由正弦定理 ，                                 ………………11分

得 .                                         ………………13分

16．13分）

（Ⅰ）解：，.                            ……………… 3分

：燈泡恰好是品.             ……………… 4分燈泡恰好是品.  …………… 8分：. 

……………… 10分，

所以的最小值為．                                     ……………… 13分17．14分）

（Ⅰ）證明：因?yàn)榈酌媸蔷匦�，�?                                          ……………… 1分平面，平面，

      所以 平面……………… 3分，平面SAD，                                     ……………… 5分

平面，

所以 .                                           ……………… 6分

，且N為AD中點(diǎn)，

所以 . 

又因?yàn)?，

所以 平面……………… 8分BD交NC于點(diǎn)F，在平面SNC中過F作交于點(diǎn)P，連接PB，PD. 

因?yàn)?平面平面…………… 11分平面平面…………… 12分矩形，

所以 .

在中，因?yàn)椋?

則在棱SC上存在點(diǎn)P，使得平面平面，此時(shí). ……… 14分18.（本小題滿分13分）

（）解：由，得，……………… 2分

     所以 ，

     又因?yàn)?，

     所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為.……………… 4分

（）解：由 ，得，

 即 .……………… 6分

 設(shè)函數(shù)，

 則 ，……………… 8分

 因?yàn)椋?/div>