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2014
惠州二模數(shù)學(xué)答案(理科)
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廣東省惠州市2014屆高三4月模擬考試
數(shù) 學(xué) 試 題 (理科) 2014.04
本試卷共4頁(yè),21小題,滿分150分?荚囉脮r(shí)120分鐘。
注意事項(xiàng):
1.答卷前,考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。
2.選擇題每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案,答案不能答在試卷上。
3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新的答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無(wú)效。
4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后,將答題卡一并交回.
參考公式:①如果事件互斥,則
②如果事件相互獨(dú)立,則
一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求.
1.設(shè)集合=,則集合的子集的個(gè)數(shù)為( )
. . . .
2.不等式的解集為( ).
. .
. .
3.若拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,則的值為( )
. . . .
4.“”是“函數(shù)的最小正周期為”的( )
.充分不必要條件 .必要不充分條件
。湟獥l件 .既不充分也不必要條件
5.如圖,一個(gè)空間幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖為
全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角邊長(zhǎng)為1,
那么這個(gè)幾何體的體積為 ( )
. . . .
6.程序框圖的運(yùn)算結(jié)果為 ( )
. . . .
7.橢圓與直線交于、兩點(diǎn),過(guò)原點(diǎn)與
線段中點(diǎn)的直線的斜率為,則值為( )
. . . .
8.已知滿足則
的最大值為( )
. . . .
二、填空題(本大題共7小題,分為必做題和選做題兩部分.每小題5分,滿分30分)
(一)必做題:第9至13題為必做題,每道試題考生都必須作答.
9.復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)的虛部等于__________.
10.二項(xiàng)式的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是__________.(用數(shù)字作答)
11. 已知變量滿足約束條件, 則的最大值是__________.
12.已知為互相垂直的單位向量,, ,且與的夾角為銳角,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 。
13. 已知數(shù)列是正項(xiàng)等差數(shù)列,若,則數(shù)列也為等差數(shù)列. 類比上述結(jié)論,已知數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列,若= ,則數(shù)列{}也為等比數(shù)列.
(二)選做題:第14、15題為選做題,考生只選做其中一題,兩題全答的,只計(jì)前一題的得分.
14.(極坐標(biāo)與參數(shù)方程)若圓的方程為:(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則圓的圓心極坐標(biāo)為_(kāi)________ .(極角范圍為)
15.(幾何證明選講)如右圖,是圓外一
點(diǎn),過(guò)引圓的兩條割線、,
==,=,則=____________.
三、解答題:本大題共6小題,滿分80分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.
16.(本題滿分12分)
已知函數(shù)
(1)求的值;
(2)若,且,求.
17.(本題滿分12分)
在一個(gè)盒子中,放有標(biāo)號(hào)分別為,,的三張卡片,現(xiàn)從這個(gè)盒子中,有放回地先后抽得兩張卡片的標(biāo)號(hào)分別為、,記.
(1)求隨機(jī)變量的最大值,并求事件“取得最大值”的概率;
18.(本題滿分14分)
如圖,已知正三棱柱—的底面邊長(zhǎng)是,是側(cè)棱的中點(diǎn),直線與側(cè)面所成的角為.
(1)求此正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng);
(2)求二面角的余弦值大小.
19.(本題滿分分)
設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知()
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)在與之間插入個(gè)數(shù),使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列.
求證:().
20.(本題滿分14分)
平面直角坐標(biāo)系中,直線截以原點(diǎn)為圓心的圓所得的弦長(zhǎng)為
(1)求圓的方程;
(2)若直線與圓切于第一象限,且與坐標(biāo)軸交于、,當(dāng)長(zhǎng)最小時(shí),求直線 的方程;
(3)設(shè)、是圓上任意兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,若直線、分別交于軸于點(diǎn)()和(),問(wèn)是否為定值?若是,請(qǐng)求出該定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
21.(本題滿分分)
已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)如果關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值集合;
(3)是否存在正數(shù),使得關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?如果存在,求滿足的條件;如果不存在,說(shuō)明理由.
一.選擇題:共8小題,每小題5分,滿分40分
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B B A D B B A
1.【解析】集合的子集有、、、.選D.
2.【解析】得:.選B.
3.【解析】.選B.
4.【解析】當(dāng)時(shí),函數(shù)可化為,故周期;反之,函數(shù)可化為,若周期為,則.選A.
5.【解析】可知該幾何體是三棱錐,底面面積為,高為1,故.選D.
6.【解析】當(dāng)時(shí),,選B.
7.【解析】設(shè)交點(diǎn)分別為、,代入橢圓方程:,由兩式得:,即,,可化簡(jiǎn)為:,即.選B.
8.【解析】已知滿足則可化為
;要求最大值,即求的最值,由基本不等式可知
,,當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào),即或
時(shí),的最大值為.選A.
二.填空題:共7小題,每小題5分,滿分30分.其中14~15題是選做題,考生只能選做一題.
9. 10. 11. 12.
13. 14. 15.
9.【解析】=,所以虛部等于.
10.【解析】=,=,當(dāng)則,常數(shù)項(xiàng)為=.
【解析】先畫(huà)出可行域(如圖),是可行域內(nèi)的點(diǎn)
與原點(diǎn)連線的斜率,當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí),取得最大值.
【解析】=,又為銳角,
解得:,.
13. 【解析】由等差數(shù)列的的和,則等比數(shù)列可類比為
﹒的積;對(duì)求算術(shù)平均值,所以對(duì)
﹒求幾何平均值,所以類比結(jié)果為.
14.【解析】圓的圓心為,,又圓心在第一象限,故.圓心的極坐標(biāo)為.
15.【解析】如右圖,是圓外一點(diǎn),過(guò)引圓的兩條割線PAB、PCD,PA = AB =由圓的割線定理,即,化簡(jiǎn)為
,解得:或(舍去).
三.解答題
16.(本題滿分12分)
本小題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值。
解(1)依題意得
16. (本題滿分12分)
解:(1) ………………2分
(2) …………4分
…………6分
………8分
…………10分
因?yàn),且,所? ……11分
所以 ………12分
17.(本題滿分分)
本小題考查利用離散型隨機(jī)變量分布列的建立以及期望的求法.
解:(1)、可能的取值為、、,
,,
,且當(dāng)或時(shí),. ……………3分
因此,隨機(jī)變量的最大值為.
有放回抽兩張卡片的所有情況有種,
。
答:隨機(jī)變量的最大值為,事件“取得最大值”的概率為. ………4分
。2)的所有取值為.
時(shí),只有這一種情況, ………5分
時(shí),有或或或四種情況,
………6分
時(shí),有或兩種情況. ………7分
,,. …………10分
則隨機(jī)變量的分布列為:
………11分
18.(本題滿分分)
本小題考查利用定義法(向量法)求空間幾何中的角度問(wèn)題。
解:(1)設(shè)正三棱柱—的側(cè)棱長(zhǎng)為.取中點(diǎn),連.
是正三角形,.………1分
又底面?zhèn)让,且交線為.
側(cè)面.連,則直線與側(cè)面所成的角為. ……………4分
在中,,解得. ………5分
此正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為. …………6分
。2)解法一:過(guò)作于,連,
側(cè)面.
為二面角的平面角. ………9分
在中,,又
, .
又……11分
在中,. …………13分
故二面角的余弦值得大小為. ………14分
。2)解法2:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系.
則.…………8分
設(shè)為平面的法向量.
由 得.
取 ………10分
又平面的一個(gè)法向量 …………11分
。 ……12分
…………13分
結(jié)合圖形可知,二面角的余弦值大小為.……14分
19.(本題滿分分)
本小題考查利用等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式求法、和項(xiàng)公式的應(yīng)用,以及錯(cuò)位求和與放縮法求證數(shù)列不等式。
解:(1)設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為,公比為,………………1分
,()………………2分
=
即()………3分
當(dāng),得,即,解得:……………4分
………5分
即.………6分
(2)①,則,………8分
………9分
設(shè)① 則②………10分
①-②得:2+
=+=………12分
………13分
………14分
20.(本題滿分分)
本小題考查利用待定系數(shù)法直線與圓的方程,以及圓中定值問(wèn)題的求解。
解:(1)因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為,…………………1分
所以圓的半徑為,
故圓的方程為.……………2分
。2)設(shè)直線的方程為,即,
由直線與圓相切,得,即, ……………4分
,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),此時(shí)直線的方程為.………6分
(3)設(shè),,則,,,
直線與軸交點(diǎn),,
直線與軸交點(diǎn),,………………10分
………………13分
故為定值2. ………………14分
21.(本題滿分分)
本小題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及用導(dǎo)數(shù)的方法討論方程根的情況。
解:(1)函數(shù)的定義域是
對(duì)求導(dǎo)得 …………2分
由 ,由
因此 是函數(shù)的增區(qū)間;
。ǎ1,0)和(0,3)是函數(shù)的減區(qū)間 ………………5分
。2)因?yàn)?/div>
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍就是函數(shù)的值域 …………6分
對(duì)
令
∴當(dāng)x=2時(shí)取得最大值,且
又當(dāng)x無(wú)限趨近于0時(shí),無(wú)限趨近于無(wú)限趨近于0,
進(jìn)而有無(wú)限趨近于-∞.因此函數(shù)的值域是 ,即實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ………………9分
。3)結(jié)論:這樣的正數(shù)k不存在。 ………………10分
下面采用反證法來(lái)證明:假設(shè)存在正數(shù)k,使得關(guān)于x的方程
有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則
…………11分
根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)定義域知都是正數(shù)。
又由(1)可知,當(dāng)時(shí),
∴=,=,
再由k>0,可得
由于 不妨設(shè) ,
由①和②可得
利用比例性質(zhì)得
即 …………13分
由于上的恒正增函數(shù),且
又上的恒正減函數(shù),且∴
∴,這與(*)式矛盾。
因此滿足條件的正數(shù)k不存在 ……………………14分
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