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2014
惠州二模數學答案（理科）
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廣東省惠州市2014屆高三4月模擬考試
數 學 試 題 (理科） 2014.04
本試卷共4頁，21小題，滿分150分�？荚囉脮r120分鐘。
注意事項：
1．答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上。
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。
3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。
4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結束后，將答題卡一并交回．
參考公式：①如果事件互斥，則
②如果事件相互獨立，則
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.
1．設集合=,則集合的子集的個數為（ ）
. . . .
2.不等式的解集為（ ）．
. .
. .
3．若拋物線的焦點坐標為，則的值為（ ）
. . . .
4．“”是“函數的最小正周期為”的（ ）
�。浞植槐匾獥l件 ．必要不充分條件
�。湟獥l件 ．既不充分也不必要條件
5．如圖，一個空間幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖為
全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長為1，
那么這個幾何體的體積為 ( )
. . . .
6．程序框圖的運算結果為 ( )
. . . .
7.橢圓與直線交于、兩點，過原點與
線段中點的直線的斜率為，則值為（ ）
． ． ． ．
8.已知滿足則
的最大值為( )
. . . .
二、填空題（本大題共7小題，分為必做題和選做題兩部分．每小題5分，滿分30分）
（一）必做題：第9至13題為必做題，每道試題考生都必須作答．
9．復數（為虛數單位）的虛部等于__________.
10．二項式的展開式的常數項是__________.（用數字作答）
11. 已知變量滿足約束條件, 則的最大值是__________.
12．已知為互相垂直的單位向量，, ,且與的夾角為銳角，則實數的取值范圍是 �。�
13. 已知數列是正項等差數列，若，則數列也為等差數列. 類比上述結論，已知數列是正項等比數列，若= ，則數列{}也為等比數列.
（二）選做題：第14、15題為選做題，考生只選做其中一題，兩題全答的，只計前一題的得分．
14．（極坐標與參數方程）若圓的方程為：（為參數），以原點為極點，以軸正半軸為極軸建立極坐標系，則圓的圓心極坐標為_________ ．(極角范圍為)
15．（幾何證明選講）如右圖，是圓外一
點，過引圓的兩條割線、，
==，=，則=____________．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
16．（本題滿分12分）
已知函數
（1）求的值；
（2）若，且，求.
17．（本題滿分12分）
在一個盒子中，放有標號分別為，，的三張卡片，現從這個盒子中，有放回地先后抽得兩張卡片的標號分別為、，記．
（1）求隨機變量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；
18．（本題滿分14分）
如圖，已知正三棱柱—的底面邊長是，是側棱的中點，直線與側面所成的角為．
（1）求此正三棱柱的側棱長；
（2）求二面角的余弦值大小.
19．（本題滿分分）
設等比數列的前項和為，已知()
（1）求數列的通項公式；
（2）在與之間插入個數，使這個數組成一個公差為的等差數列．
求證：().
20．(本題滿分14分)
平面直角坐標系中，直線截以原點為圓心的圓所得的弦長為
（1）求圓的方程；
（2）若直線與圓切于第一象限，且與坐標軸交于、，當長最小時，求直線 的方程；
（3）設、是圓上任意兩點，點關于軸的對稱點為，若直線、分別交于軸于點（）和（），問是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.
21.（本題滿分分）
已知函數
（1）求函數的單調區(qū)間；
（2）如果關于x的方程有實數根，求實數的取值集合；
（3）是否存在正數，使得關于x的方程有兩個不相等的實數根？如果存在，求滿足的條件；如果不存在，說明理由.
一．選擇題：共8小題，每小題5分，滿分40分
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B B A D B B A
1.【解析】集合的子集有、、、.選D.
2.【解析】得：.選B.
3.【解析】．選B.
4.【解析】當時,函數可化為,故周期;反之，函數可化為，若周期為，則.選A.
5.【解析】可知該幾何體是三棱錐，底面面積為，高為1，故．選D．
6.【解析】當時，,選B．
7.【解析】設交點分別為、，代入橢圓方程：，由兩式得：，即，，可化簡為：，即.選B.
8.【解析】已知滿足則可化為
；要求最大值，即求的最值，由基本不等式可知
，，當且僅當取等號，即或
時，的最大值為.選Ａ.
二．填空題：共7小題，每小題5分，滿分30分．其中14~15題是選做題，考生只能選做一題．
9． 10． 11． 12．
13． 14． 15．
9.【解析】＝，所以虛部等于.
10．【解析】=，=，當則,常數項為=.
【解析】先畫出可行域（如圖），是可行域內的點
與原點連線的斜率，當直線過點時，取得最大值.
【解析】=，又為銳角，
解得：，.
13. 【解析】由等差數列的的和，則等比數列可類比為
﹒的積；對求算術平均值，所以對
﹒求幾何平均值，所以類比結果為.
14.【解析】圓的圓心為，，又圓心在第一象限，故.圓心的極坐標為.
15.【解析】如右圖，是圓外一點，過引圓的兩條割線PAB、PCD，PA = AB =由圓的割線定理，即,化簡為
，解得:或（舍去）.
三．解答題
16．（本題滿分12分）
本小題考查三角函數的化簡與求值。
解（1）依題意得
16. （本題滿分12分）
解：(1) ………………2分
(2) …………4分
…………6分
………8分
…………10分
因為，且，所以 ……11分
所以 ………12分
17．（本題滿分分）
本小題考查利用離散型隨機變量分布列的建立以及期望的求法.
解：（1）、可能的取值為、、，
，，
，且當或時，． ……………3分
因此，隨機變量的最大值為．
有放回抽兩張卡片的所有情況有種，
．
答：隨機變量的最大值為，事件“取得最大值”的概率為． ………4分
�。�2）的所有取值為．
時，只有這一種情況， ………5分
時，有或或或四種情況，
………6分
時，有或兩種情況． ………7分
，，． …………10分
則隨機變量的分布列為：
………11分
18．（本題滿分分）
本小題考查利用定義法（向量法）求空間幾何中的角度問題。
解：（1）設正三棱柱—的側棱長為．取中點，連．
是正三角形，．………1分
又底面?zhèn)让�，且交線為．
側面．連，則直線與側面所成的角為． ……………4分
在中，，解得． ………5分
此正三棱柱的側棱長為． …………6分
（2）解法一：過作于，連，
側面．
為二面角的平面角． ………9分
在中，，又
， ．
又……11分
在中，． …………13分
故二面角的余弦值得大小為． ………14分
�。�2）解法2：如圖，建立空間直角坐標系．
則．…………8分
設為平面的法向量．
由 得．
取 ………10分
又平面的一個法向量 …………11分
． ……12分
…………13分
結合圖形可知，二面角的余弦值大小為．……14分
19．（本題滿分分）
本小題考查利用等比數列的定義及其通項公式求法、和項公式的應用，以及錯位求和與放縮法求證數列不等式。
解：（1）設等比數列的首項為，公比為，………………1分
，（）………………2分
=
即()………3分
當,得，即，解得：……………4分
………5分
即.………6分
（2）①，則，………8分
………9分
設① 則②………10分
①-②得：2+
=+=………12分
………13分
………14分
20．（本題滿分分）
本小題考查利用待定系數法直線與圓的方程，以及圓中定值問題的求解。
解：（1）因為點到直線的距離為，…………………1分
所以圓的半徑為，
故圓的方程為.……………2分
�。�2）設直線的方程為，即，
由直線與圓相切，得，即， ……………4分
，
當且僅當時取等號，此時直線的方程為．………6分
(3)設，，則，，，
直線與軸交點，，
直線與軸交點，，………………10分
………………13分
故為定值2． ………………14分
21．（本題滿分分）
本小題考查利用導數研究函數的單調區(qū)間以及用導數的方法討論方程根的情況。
解：（1）函數的定義域是
對求導得 …………2分
由 ，由
因此 是函數的增區(qū)間；
�。ǎ�1，0）和（0，3）是函數的減區(qū)間 ………………5分
（2）因為
所以實數m的取值范圍就是函數的值域 …………6分
對
令
∴當x=2時取得最大值，且
又當x無限趨近于0時，無限趨近于無限趨近于0，
進而有無限趨近于－∞.因此函數的值域是 ,即實數m的取值范圍是 ………………9分
（3）結論：這樣的正數k不存在。 ………………10分
下面采用反證法來證明：假設存在正數k，使得關于x的方程
有兩個不相等的實數根，則
…………11分
根據對數函數定義域知都是正數。
又由（1）可知，當時，
∴=，=，
再由k>0，可得
由于 不妨設 ，
由①和②可得
利用比例性質得
即 …………13分
由于上的恒正增函數，且
又上的恒正減函數，且∴
∴，這與（*）式矛盾。
因此滿足條件的正數k不存在 ……………………14分
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