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2014
益陽一模理科
數(shù)學(xué)試題答案
絕密 ★ 啟用前
2014屆益陽市高三模擬考試
本試卷包括選擇題、填空題和解答題三部分，共頁，時(shí)量120分鐘，滿分150分
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1若R，為虛數(shù)單位，且，則A． ，B． ，
C． ，D． ，
2已知，則、、的大小關(guān)系是
A．B．
C．D．
3．執(zhí)行如下圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果是
A．6
B．8
C．10
D．15
4．設(shè)某幾何體的三視圖如下圖所示，則該幾何體的體積為A．
B．
C．
D．
5．為了了解某校九年級(jí)1600名學(xué)生的體能情況，隨機(jī)抽查了部分學(xué)生，測(cè)試1分鐘仰臥起坐的成績(jī)（次數(shù)），將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖的數(shù)據(jù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A．該校九年級(jí)學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)的中位數(shù)為26.25次
B．該校九年級(jí)學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)的眾數(shù)為27.5次
C．該校九年級(jí)學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過30次的人數(shù)約有320人
D．該校九年級(jí)學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20次的人數(shù)約有32人
6設(shè)變量x，y滿足約束條件，則的最大值是
A．7B．8C．9 D．10
7．下列有關(guān)命題的說法正確的是
A．命題“若，則”的否命題為：“若，則”．
B．“” 是“”的必要不充分條件.
C．命題“若，則”的逆否命題為真命題.
D．命題“R使得”的否定是：“R均有”．
8在中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c．若．則角C等于
A．B．C．D．
9．設(shè)是的展開式中項(xiàng)的系數(shù)（），若，則的最大值是
A．B．C．D．
10．函數(shù)的定義域?yàn)�，且其圖象上任一點(diǎn)滿足方程，給出以下四個(gè)命題：①函數(shù)是偶函數(shù)；
②函數(shù)不可能是奇函數(shù)；③，；④，.其中真命題的個(gè)數(shù)是
A．1B．2 C．3D．4
二、填空題：本大題共6小題，考生作答5小題，每小題5分 ，共25分，把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上.
（一）選做題（請(qǐng)考生在第11、12、 13三題中任選兩題作答，如果全做，則按前兩題記分）
11在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系 與直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸中，曲線的極坐標(biāo)方程為,則與的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離等于 .
12不等式的解集是 .
13如圖，在Rt△ADE中，是斜邊AE的中點(diǎn)，以為直徑的圓與邊DE相切于點(diǎn)C，若 AB＝3，則線段CD的長(zhǎng)為 ．
（二）必做題（14～16題）
14．已知向量a=(,), b =(,)若a∥b則= .
15．直線與拋物線所圍圖形的面積等于 .
16．設(shè)集合={1，2，3，4，5},對(duì)任意和正整數(shù)，記，其中，表示不大于的最大整數(shù)，則= ，若，則 .
三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.（本小題滿分12分）
已知函數(shù)，R．
（Ⅰ）求的最小值，并求出相應(yīng)的值的集合；
（Ⅱ）求的單調(diào)遞減區(qū)間．
18（本小題滿分12分）
甲、乙、丙三名音樂愛好者參加某電視臺(tái)舉辦的演唱技能海選活動(dòng)，在本次海選中有合格和不合格兩個(gè)等級(jí)．若海選合格記1分海選不合格記0分．假設(shè)甲、乙、丙海選合格的概率分別為，他們海選合格與不合格是相互獨(dú)立的．
（Ⅰ）求在這次海選中，這三名音樂愛好者至少有一名海選合格的概率；
（Ⅱ）記在這次海選中，甲、乙、丙三名音樂愛好者所得分之和為隨機(jī)變量,求隨機(jī)變量的分布列和
數(shù)學(xué)期望．
19（本小題滿分12分）
如圖，在三棱錐中，,,為的中點(diǎn)，,=.
（Ⅰ）求證：平面⊥平面；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．
20．（本小題滿分13分）
科學(xué)研究證實(shí)，二氧化碳等溫室氣體的排放（簡(jiǎn)稱碳排放）對(duì)全球氣候和生態(tài)環(huán)境產(chǎn)生了負(fù)面影響.環(huán)境部門對(duì)A市每年的碳排放總量規(guī)定不能超過萬噸，否則將采取緊急限排措施.已知A市2013年的碳排放總量為萬噸，通過技術(shù)改造和倡導(dǎo)低碳生活等措施，此后每年上一年的碳排放總量減少%．同時(shí)，因經(jīng)濟(jì)發(fā)展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m萬噸（m>0）.
（Ⅰ）求A市2015年的碳排放總量(用含m的式子表示)；
（Ⅱ）若A市永遠(yuǎn)不需要采取緊急限排措施，求m的取值范圍.
21．（本小題滿分13分）
已知橢圓()的短軸長(zhǎng)為2，離心率為．過點(diǎn)（2,0）的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求的取值范圍；
（Ⅲ）若點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)是，證明：直線恒過一定點(diǎn).
22（本小題滿分13分）
已知函數(shù)，．
（Ⅰ）若直線恰好為曲線的切線時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；
（Ⅱ）當(dāng)，時(shí)（其中無理數(shù)），恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍．2014屆益陽市高三模擬考試參考答案
本試題卷包括選擇題、填空題和解答題三部分，共5頁．時(shí)量120分鐘，滿分150分．
1．B 2．B 3．C 4．A 5．D 6．C 7．C 8．A 9．D 10．
二、填空題： 本大題共6小題，考生作答5小題，每小題5分 ，共25分，把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上.
（一）選做題（請(qǐng)考生在第11、12、 13三題中任選兩題作答，如果全做，則按前兩題記分）
11．．} 13． 15．．（提示：利用的單調(diào)性進(jìn)行估算驗(yàn)證確定）
三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.（本小題滿分12分）
解:（Ⅰ）
.（6分）
所以函數(shù)的最小值為,
此時(shí)滿足,
即相應(yīng)的的取值的集合為.（9分）
（Ⅱ）由得
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為． （12分）
18.（本小題滿分12分）
解:（Ⅰ）記“甲海選合格”為事件ＡＢＣＥ．（4分）
（Ⅱ）的所有可能取值為0, 1, 2, 3．
；
；
；
．
所以的分布列為
0123． （12中，，
，
，
則為直角三角形，
所以，．
又由已知，
且是的中點(diǎn)，可得
又，
平面
又面
平面平面．（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖
所示直角坐標(biāo)系，
則，
．
設(shè)平面的法向量為，則有
即
解得：，
所以，平面的一個(gè)法向量為，
，
故直線與平面所成角的正弦值為． （20.（本小題滿分13分）
2014年的碳排放總量為，2015年的碳排放總量為，…
（Ⅰ）由已知，,
=. （,
…
.（
（1）當(dāng)即時(shí),顯然滿足題意；
（2）當(dāng)即時(shí)，
由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得:，解得.
綜合得；
（3）當(dāng)即時(shí)，
由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得:，解得,綜合得.
綜上可得所求范圍是.（.（
，∴，
故所求范圍是.（N，定點(diǎn)在軸上.
直線AN：，令得:
,
∴直線過定點(diǎn).（
22.（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）設(shè)切點(diǎn)為，由題意得：
，即，
由（1）解得或.（代入（2）得：.
將代入（2）得： （3），
設(shè)，則，
所以在（0,2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增，，所以方程（3）無實(shí)數(shù)解。（.
（Ⅱ）由得： （4），
由知：在（0,1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以, 的最小值為，
所以不等式（4）可化為：；（，，，
當(dāng)，時(shí)，，所以；
當(dāng)，1）時(shí)，，所以；
所以在上單調(diào)遞減，在[1，]上單調(diào)遞增,
所以，又，，
，又，所以，
所以，，
所以，當(dāng)，時(shí)，恒成立時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍是[．（
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