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2014
長春二模考試文科
數(shù)學(xué)試題答案（word版）僅供參考
數(shù) 學(xué)（文科）
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分第Ⅱ卷考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。
注意事項(xiàng)：
1答題前，考生將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。
2選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用05毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。
3請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。
4保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、不準(zhǔn)使用涂改液、刮紙刀。
第Ⅰ卷一、選擇題（本大題包括12小題，每小題5分，共60分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選填涂在答題卡上）.
1．設(shè)集合，集合，則下列關(guān)系中正確的是
A．B．C．D．
2．設(shè)是虛數(shù)單位，則等于
A．B．C．D．
3．已知向量,,,若為實(shí)數(shù)，，則A．B．C．D．4．已知命題：函數(shù)的圖象恒過點(diǎn)；命題：若函數(shù)為偶函數(shù)，則 的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則下列命題為真命題的是
A．B．C．D．5．運(yùn)行框圖輸出的是，則①應(yīng)為A．B．
C．D．
6．以下四個(gè)命題：①從勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質(zhì)檢員每分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行某項(xiàng)指標(biāo)檢測，這樣的抽樣是分層抽樣；
②兩個(gè)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于；
③在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高④對(duì)分類變量與的隨機(jī)變量K2的觀測值k來說，k越小，“與有關(guān)系”的把握越大．其中真命題為
A．①④B．②④C．①③ D．②③
7．拋物線到焦點(diǎn)的距離為，則實(shí)數(shù)的值為
A．B．C． D．8．某幾何體的三視圖如圖所示，則它的表面積為
A． B．C． D．
9．設(shè)，則
A．B．C．D．
10．已知函數(shù)，則的圖象大致為
AB C D
11．已知直線與雙曲線交于兩點(diǎn)(不在同一支)，為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)則在
A．以為焦點(diǎn)的雙曲線上 B．以為焦點(diǎn)的橢圓上
C．以為直徑兩端點(diǎn)的圓上 D．以上說法均不正確
12．設(shè)函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為，且有，則不等式的解集為
A．B．C．D．（非選擇題，共90分）本卷包括必考題和選考題兩部分。第題為必考題，每個(gè)試題考生都必須答。第題為選考題，考生根據(jù)要求做答。二、填空題（本大題包括4小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在答題卡中的橫線上）.
13．在△中，三個(gè)內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，，若 ，則 14．設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為 15．如圖，在長方體中，分別是棱，上的點(diǎn)（點(diǎn)與不重合），且∥，過的平面與棱，相交，交點(diǎn)分別為．設(shè)，，．在長方體內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自于幾何體內(nèi)的概率為
16．已知數(shù)列中,, ,,…= .
三、解答題（本大題包括6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）.
17．（本小題滿分12分）已知為銳角，且，函數(shù)，數(shù)列 的首項(xiàng)，.
（1）求函數(shù)的表達(dá)式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.
18. （本小題滿分12分）
對(duì)某電子元件進(jìn)行壽命追蹤調(diào)查，所得頻率分布直方圖如下.
（），并根據(jù)圖的數(shù)據(jù)分層抽樣抽取個(gè)元件，壽命之間的應(yīng)抽取幾個(gè)（）從（）中抽出的壽命落在之間的元件中任取個(gè)元件，求事件恰好有一個(gè)壽命之間，一個(gè)壽命之間”的概率.19．（本小題滿分12分）如圖，，底面是等腰梯形，
且∥，是中點(diǎn)，平面，
， 是中點(diǎn)．
（1）證明：平面；求點(diǎn)到平面的距離.20．（本小題滿分12分）如圖，已知點(diǎn)是離心率為的橢圓：上的一點(diǎn)，斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且、、三點(diǎn)互不重合．
求橢圓的方程；求證：直線的斜率之和為定值．21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)在處切線為.
（1）求的解析式；
（2）設(shè)，，，表示直線的斜率，求證：.
請(qǐng)考生在22、23、24三題中任選一題做作，如果多做，則按所做的第一題記分.
22．（本小題滿分1分）如圖，是圓的直徑，是延長線上的一點(diǎn)，是圓的割線，過點(diǎn)作 的垂線，交直線于點(diǎn)，交直線 于點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為.
（1）求證:四點(diǎn)共圓；若,求的長.23．（本小題滿分1分）已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為．
求圓的方程；
若是直線與圓面的公共點(diǎn)，求的取值范圍．24.（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講設(shè)函數(shù).
（1）若不等式的解集為，求的值；
（2）若存在，使，求的取值范圍.
【解析】：，或，則，故選
2．【答案】：
【解析】：，故選
3．【答案】：
【解析】：，，又，
∴，即，解得，
故選
4．【答案】：
【解析】：函數(shù)的圖象可看成把函數(shù)的圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)向左平移一個(gè)單位得到，而的圖象恒過，所以的圖象恒過，則為假命題；若函數(shù)為偶函數(shù)，即的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，的圖象即圖象整體向左平移一個(gè)單位得到，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則為假命題；參考四個(gè)選項(xiàng)可知，選
5．【答案】：
【解析】：由程序框圖算法可知，……，由于輸出，即，解得，故①應(yīng)為“？”，故選
6．【答案】：
【解析】：①應(yīng)為系統(tǒng)（等距）抽樣；②線性相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近1，兩變量間線性關(guān)系越強(qiáng)；③在殘差圖中,殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄,其模型擬合的精度越高；④．
7．【答案】：
【解析】：由拋物線方程及點(diǎn)可知，拋物線，排除，，又到焦點(diǎn)的距離為，且該拋物線準(zhǔn)線方程為，所以，解得，故選
8．【答案】：
【解析】：由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)沿旋轉(zhuǎn)軸作截面，截取的半個(gè)圓錐，底面半徑是1，高是2，所以母線長為，所以其表面積為底面半圓面積和圓錐的側(cè)面積的一半以及截面三角形的面積的和，即，故選
9．【答案】：
【解析】：易知，，又，所以，∴，∴，故選
10．【答案】：
【解析】：，令，則，在同一坐標(biāo)系下作出兩個(gè)函數(shù)的簡圖，根據(jù)函數(shù)圖象的變化趨勢可以發(fā)現(xiàn)與共有三個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)從小到大依次設(shè)為，在區(qū)間上有，即；在區(qū)間有，即；在區(qū)間有，即；在區(qū)間有，即.故選
11．【答案】：
【解析】：不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸上，方程為（＞0，＞0），分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且，分別在左、右支上，由雙曲線定義：，，則，由橢圓定義可知，在以、為焦點(diǎn)的橢圓上.故選
12【答案】：
【解析】：由，得： ，令，則當(dāng)時(shí)，，即在是減函數(shù)，
，，由題意：＞
又在是減函數(shù)，∴，即，故選
13.【答案】：
【解析】：由正弦定理，，所以，
即，∴
14.【答案】：
【解析】：作出可行域如圖，令，
則，作出目標(biāo)直線，經(jīng)過平移，
當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值，聯(lián)立
得，代入得，∴
15. 【答案】：
【解析】：因?yàn)椤�，則∥，所以∥平面，過的平面交于，則∥，所以易證明幾何體和是等高的五棱柱和三棱柱，由幾何概型可知，長方體內(nèi)任一點(diǎn)取自幾何體內(nèi)的概率.
16.【答案】：
【解析】：，，∴，
…………
17．【解析】：
（）由， 是銳角，
. ………6分
（）， （常數(shù)） ………8分
是首項(xiàng)為,公的等數(shù)列, . ………12分
18.【解析】：
（1）根據(jù)題意：
解得 ………………………………2分之間的應(yīng)抽取個(gè)，根據(jù)分層抽樣有：
………………………4分
所以壽命落在之間的元件應(yīng)抽取個(gè) ……………………………6分之間，一個(gè)壽命為之間”為事件，易知，壽命落在之間的元件有個(gè)，分別記，落在之間的元件有個(gè)，分別記為：，從中任取個(gè)元件，有如下基本事件：，，共有個(gè)基本事件. ………9分 “恰好有一個(gè)壽命落在之間，一個(gè)壽命為之間”有：
，，共有個(gè)基本事件………10分 ……………………………11分之間，一個(gè)壽命為之間”的概率為 . ………………12分19.【解析】：
(1) 證明：由題意， ∥， =
∴四邊形為平行四邊形，所以.
又∵， ∴∥
又平面，平面 ∴∥平面 ………4分∥平面，又
∴平面∥平面. …………6分求到平面的距離為.
因?yàn)閂三棱錐A-PCD V三棱錐-ACD
即
. ………12分20.【解析】：
由題意，可得，
得，，分
解得，，，
所以橢圓的方程.分
()證明設(shè)直線的方程為，三點(diǎn)不重合，∴，設(shè)，，
由得
所以
② ………8分設(shè)直線的斜率分別為，
則 (*) ………10分
將①、②式代入()，
整理得，
，即直線的斜率之和為定值分，，∴由得 ………3分代入得，即，∴
∴. ………5分∴證明即證
各項(xiàng)同除以，即證 ………8分，則，這樣只需證明即
設(shè),,
∵，∴，即在上是增函數(shù)
∴，即 ………10分，
∴在也是在增函數(shù)
，即
從而證明了成立，所以成立. ………12分等價(jià)于
即 …………8分
先證，
問題等價(jià)于，即
設(shè)，則
∴在上是增函數(shù)，
∵，∴，∴，
得證. …………10分
再證，
問題等價(jià)于，即
設(shè)，則
∴在上是減函數(shù)，
∵，∴，∴，
得證.
綜上，. …………12分
22.【解析】：
（1）證明：連結(jié)，∵是圓的直徑，
∴
在和中，
又∵ ∴
∴四點(diǎn)共圓分四點(diǎn)共圓
∵是圓的切線，∴ ∴
又因?yàn)?∴
∴. ………………………10分23．【解析】：（1）因?yàn)閳A的極坐標(biāo)方程為
又
所以
所以圓的直角坐標(biāo)方程為：. …………………5分
由圓的方程
所以圓的圓心是，半徑是
將代入得 …………………8分直線，圓的半徑是，由題意有：
所以
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