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2014
東城一模考試?yán)砜?a href='http://m.e-deep.com.cn/math/' target='_blank'>
數(shù)學(xué)試題答案
東城區(qū)2013-2014學(xué)年度第二學(xué)期教學(xué)檢測(cè)
學(xué)校______________班級(jí)_________姓名____________考號(hào)___________
本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，第Ⅰ卷1至2頁(yè)，第Ⅱ卷3至5頁(yè)，共150分。考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘�？忌鷦�(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效�？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
選擇題部分（共0分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共0分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．}，B＝{x|x 2－2x－3≤0}，則A∩(RB)＝
A．．．．則z=
A．．．．R，則“a＝-2”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與
直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的
A．．．．的圖象沿軸向左平移個(gè)單位后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則的一個(gè)可能取值為
A. B. C. D.
5．設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量．則下列命題為真命題的是
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，則a⊥b
B．若a⊥b，則|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，則存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb
D．若存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb，則|a＋b|＝|a|－|b|
6．某幾何體的一條棱長(zhǎng)為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長(zhǎng)為的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長(zhǎng)為和的線段，則的最大值為A. B. C. D.
7 已知拋物線：的焦點(diǎn)與雙曲線：的右焦點(diǎn)的連線交于第一象限的點(diǎn),若在點(diǎn)處的切線平行于的一條漸近線，則
A. B. C. D.
8．設(shè)a＞0，b＞0．．，則a＞b
B．，則a＜b
C．，則a＞b
D．，則a＜b
非選擇題部分（共0分）二、填空題：本大題共小題，每小題分，共分．
記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知.
．
10．如圖，與圓相切于，不過(guò)圓心的割線與
直徑相交于點(diǎn).已知∠=，，
,則圓的半徑等于 ．
11. 若函數(shù)有零點(diǎn)，則k的取值范圍
為_(kāi)______.
12．已知圓的方程為,設(shè)該圓過(guò)點(diǎn)（3，5）的最長(zhǎng)弦和最短
弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為_(kāi)______________.
13．已知的展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，，且≤ n ≤ 7，則n=______．．R，若x＞0時(shí)均有[(a－1)x－1]( x 2－ax－1)≥0，
則a＝______________．三、解答題：本大題共小題，共分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
1．本小題滿分1分的內(nèi)角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，
且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最大值．
17．本小題滿分1分中，底面是矩形，平面，，. 以的中點(diǎn)為球心、為直徑的球面交于點(diǎn)，交于點(diǎn).
（Ⅰ）求證：平面⊥平面；
（Ⅱ）求直線與平面所成的角的正弦值；
（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離.
18.（本小題滿分14分）
已知函數(shù)，其中
若在x=1處取得極值，求a的值；
求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若的最小值為1，求a的取值范圍 .
19．本小題滿分1分(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2，1)的距離為．Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)），且以 為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn).求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定
點(diǎn)的坐標(biāo)．
20.（本題滿分12分）
在數(shù)列中，a1=2，b=4，且成等差數(shù)列， 成等比數(shù)列（）
（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）證明：2013-2014學(xué)年度第二學(xué)期教學(xué)檢測(cè)
一、選擇題： 1．C；7．D；8．A．，必有．，則恒成立，故有函數(shù)在x＞0上單調(diào)遞增，即a＞b成立．．
二、填空題： ； 12 . 20；13．．．，0)，可得：a＞1；
函數(shù)y2＝x 2－ax－1：顯然過(guò)點(diǎn)M(，0)，得：，舍去，）
三、解答題：
1．本小題滿分1分Ⅰ）在中，
由正弦定理及
可得
即，則=4. --------6分
（Ⅱ）由(Ⅰ)得
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故當(dāng)時(shí)，的最大值為. --------13分
16．本小題滿分1分 --------5分
（III）的可能取值為0，1，2，3
,，,
0123P. --------13分
17．本小題滿分1分
（Ⅰ）依題設(shè)知，是所作球面的直徑，則M⊥MC。
又⊥平面，則⊥CD，又⊥AD，
⊥平面ＰＡＤ，則⊥AM，⊥平面，
平面⊥平面，又，
則是的中點(diǎn)可得,
，
則
設(shè)D到平面ACM的距離為，
由 即，可求得，
設(shè)所求角為，則. --------10分
(Ⅲ)可求得PC=6, 因?yàn)锳N⊥NC，由，得PN,
所以,
故N點(diǎn)到平面ACM的距離等于P點(diǎn)到平面ACM距離的.
又因?yàn)镸是PD的中點(diǎn)，則P、D到平面ACM的距離相等，
由（Ⅱ）可知所求距離為 . --------14分
方法二：
（Ⅱ）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，
，，；
設(shè)平面的一個(gè)法向量，
由可得：，
令，則.
設(shè)所求角為，則.
--------10分
（Ⅲ）由條件可得，.
在中，,所以,
則, ，
所以所求距離等于點(diǎn)到平面距離的，
設(shè)點(diǎn)到平面距離為則，
所以所求距離為. --------14分
18.（本小題滿分14分）
（Ⅰ）
∵在x=1處取得極值，∴解得
--------4分
（Ⅱ）
∵ ∴
①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間∴的單調(diào)增區(qū)間為
②當(dāng)時(shí)，
由
∴
--------10分
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）①知，
當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）②知，
在處取得最小值
綜上可知，若得最小值為1，則a的取值范圍是 --------14分
19．本小題滿分1分 (Ⅰ)由題：； (1)
左焦點(diǎn)(﹣c，0)到點(diǎn)P(2，1)的距離為：．．． (II)設(shè)，由得 ，
，.
以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，
，，
，，解得
，且滿足.
當(dāng)時(shí)，，直線過(guò)定點(diǎn)與已知矛盾；
當(dāng)時(shí)，，直線過(guò)定點(diǎn)
綜上可知，直線過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為 --------14分
20.（本題滿分12分）
（Ⅰ）由條件得
由此可得
．
猜測(cè)．4分
①當(dāng)n=1時(shí)，由上可得結(jié)論成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即
，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，
．
所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立．
由①②，可知對(duì)一切正整數(shù)都成立．7分
（Ⅱ）．
n≥2時(shí)，由（Ⅰ）知．
故
綜上，原不等式成立． 12分
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