2014惠州二模(惠州二調(diào))考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題及其答案

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惠州市2014屆高三第二次調(diào)研考試
  數(shù)  學(xué) (理科) 
本試卷共4頁(yè),21小題,滿分150分?荚囉脮r(shí)120分鐘。
注意事項(xiàng):
1.答卷前,考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上。
2.選擇題每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案,答案不能答在試卷上。
3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫上新的答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無(wú)效。 
參考公式: 球的體積公式:  
一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求.
1.復(fù)數(shù) 的虛部為(    )
                   
2.設(shè)集合 ,集合 為函數(shù) 的定義域,則 (  )
       
   
3.設(shè) 是等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和, ,則 (   )
                              
4. 按右面的程序框圖運(yùn)行后,輸出的 應(yīng)為(   )
                                  
5.“ ”是“直線 : 與 : 平行”的(  ) 
  充分不必要條件                    必要不充分條件           
  充分必要條件                     既不充分也不必要條件
 
6. 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖與左視圖均為半徑是 的圓,則這個(gè)幾何體的體積是 (  )
                            
 
7.采用系統(tǒng)抽樣方法從 人中抽取 人做問(wèn)卷調(diào)查,為此將他們隨機(jī)編號(hào)為 , ,……, ,分組后在第一組采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽到的號(hào)碼為 .抽到的 人中,編號(hào)落入?yún)^(qū)間 的人做問(wèn)卷 ,編號(hào)落入?yún)^(qū)間 的人做問(wèn)卷 ,其余的人做問(wèn)卷 .則抽到的人中,做問(wèn)卷 的人數(shù)為 (  )
                                
8.已知函數(shù) 且函數(shù) 的零點(diǎn)均在區(qū)間  內(nèi),圓 的面積的最小值是(。
                               
二、填空題(本大題共7小題,分為必做題和選做題兩部分.每小題5分,滿分30分)
(一)必做題:第9至13題為必做題,每道試題考生都必須作答.
9.若向量 則       .
10. 若 ,則 =           .
11. 已知變量 滿足約束條件 則 的最大值為       .
12. 若 展開式的常數(shù)項(xiàng)是 ,則常數(shù) 的值為           .
13.已知奇函數(shù) 則 的值為          .
(二)選做題:第14、15題為選做題,考生只選做其中一題,兩題全答的,只計(jì)前一題的得分。
14.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)已知點(diǎn) 是曲線 上任意一點(diǎn),則點(diǎn) 到直線 的距離的最小值是________. 
 
15.(幾何證明選講選做題)如圖, 是圓 的直徑 
延長(zhǎng)線上一點(diǎn), 是圓 的切線, 是切點(diǎn), ,
 , , =      .
三、解答題:(本大題共6小題,滿分80分.須寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟.)
16.(本小題滿分12分)
已知函數(shù) .
(1)求函數(shù) 的最小正周期和最值;
(2)求函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間.
17.(本題滿分12分)
若盒中裝有同一型號(hào)的燈泡共 只,其中有 只合格品, 只次品。
(1) 某工人師傅有放回地連續(xù)從該盒中取燈泡 次,每次取一只燈泡,求 次取到次品的概率;
(2) 某工人師傅用該盒中的燈泡去更換會(huì)議室的一只已壞燈泡,每次從中取一燈泡,若是正品則用它更換已壞燈泡,若是次品則將其報(bào)廢(不再放回原盒中),求成功更換會(huì)議室的已壞燈泡所用燈泡只數(shù) 的分布列和數(shù)學(xué)期望.
18.(本小題滿分14分)
   四棱錐 底面是平行四邊形,面 面 ,
 , , 分別為 的中點(diǎn).
(1)求證: ;   
 
(2)求二面角 的余弦值.
 
 
 
 
 
19.(本小題滿分14分)
已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和是 ,且 .
(1)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè) ,求適合方程  的正整數(shù) 的值.
 
 
20.(本小題滿分14分)
已知左焦點(diǎn)為 的橢圓過(guò)點(diǎn) .過(guò)點(diǎn) 分別作斜率為 的橢圓的動(dòng)弦 ,設(shè) 分別為線段 的中點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若 為線段 的中點(diǎn),求 ;
(3)若 ,求證直線 恒過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo).
 
21.(本小題滿分14分)
已知函數(shù) 
(1)當(dāng) 時(shí),求函數(shù) 在 上的極值;
(2)證明:當(dāng) 時(shí), ;
(3)證明:   .
 
 
 
惠州市2014屆高三第二次調(diào)研考試
數(shù)學(xué) (理科)參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
一.選擇題:共8小題,每小題5分,滿分40分
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D B C A D A A
1.【解析】因?yàn)?。故選B
2.【解析】集合 ,集合B為函數(shù) 的定義域,所以 ,所以 (1,2]。故選D
3【解析】 得 ,即 ,所以 ,選B
4.【解析】第一次循環(huán): ,不滿足條件,再次循環(huán);
第二次循環(huán): ,不滿足條件,再次循環(huán);
第三次循環(huán): ,不滿足條件,再次循環(huán);
第四次循環(huán): ,不滿足條件,再次循環(huán);
第五次循環(huán): ,滿足條件,輸出S的值為40.
故選C
5.【解析】由直線 : 與 : 平行,得 ,所以“ ”是“直線 : 與 : 平行”的充分不必要條件。故選A
6.【解析】由題知該幾何體是挖去 個(gè)球的幾何體。所以 .故選D
7.【解析】由系統(tǒng)抽樣的原理知將960人分30組,所以第一組抽450/30=15人,第二組抽(750-450)/30=10,第三組抽32-15-10=7人。故選A
8.【解析】∵f(x)=1+x﹣ ,
∴當(dāng)x<﹣1或x>﹣1時(shí),f'(x)=1﹣x+x2﹣x3+…+x2012= >0.
而當(dāng)x=﹣1時(shí),f'(x)=2013>0
∴f'(x)>0對(duì)任意x∈R恒成立,得函數(shù)f(x)是(﹣∞,+∞)上的增函數(shù)
∵f(﹣1)=(1﹣1)+(﹣ ﹣ )+…+(﹣ ﹣ )<0,f(0)=1>0
∴函數(shù)f(x)在R上有唯一零點(diǎn)x0∈(﹣1,0)
∴b﹣a的最小值為0-(-1)=1.
∵圓x2+y2=b﹣a的圓心為原點(diǎn),半徑r= 
∴圓x2+y2=b﹣a的面積為πr2=π(b﹣a)≤π,可得面積的最小值為π。故選:A
二.填空題:共7小題,每小題5分,滿分30分.其中14~15題是選做題,考生只能選做一題.
9.(-2,-4)  10.     11.1  12.4  13.-8   14.   15.  
9.【解析】因?yàn)?所以 
10.【解析】 得 , 
 又 
11.【解析】?由可行域知直線過(guò)點(diǎn)(1,0)時(shí)取得最大值1
12.【解析】 ,由 ,所以 。
13.【解析】因?yàn)楹瘮?shù) 為奇函數(shù),所以 ,即 。所以 。
14.【解析】曲線 即 ,表示圓心在(1,0),半徑等于1的圓,直線 =4,即 ,圓心(1,0)到直線的距離等于 ,所以點(diǎn)A到直線 =4的距離的最小值是 。
15.【解析】連結(jié)PO,因?yàn)镻D是⊙O的切線,P是切點(diǎn),∠D=30°,所以∠POC=60°,
并且AO=2,∠POA=120°,PO=1
在△POA中,由余弦定理知, 
三、解答題:
16. (本小題滿分12分)
解:(1)f(x)  …………………………3分
                           …………………………4分
當(dāng) 即 時(shí),f(x)取最大值2;…………5分
當(dāng) 即 時(shí),f(x)取最小值-2…………6分
(2)由  ,      ………………………8分
得  ………………………10分
∴單調(diào)遞減區(qū)間為 .       ………………………12分
17(本小題滿分12分)
解:解:設(shè)一次取次品記為事件A,由古典概型概率公式得: ……2 分
有放回連續(xù)取3次,其中2次取得次品記為事件B,由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)得: ………4分
(2)依據(jù)知X的可能取值為1.2.3………5分
且 ………6分     ………7
 ………8分
則X的分布列如下表:
X 1 2 3
p
……10分
 ………12分 
 
 
 
 
18(本小題滿分14分)
解: (1) -----2分 
 
 ,所以  ---4分 
 ---6分 
 
 
 
(2)取  的中點(diǎn) , ---8分
 
 
 
 是二面角 
的平面角 ----------------------------10分
 知  
 --------------------12分
 即二面角 的余弦值為 ---------------14分
解法二 (1)
   所以  
 ………………………………2分
建系 令  
 , 
   ……………………..4分
 
 
因?yàn)槠矫鍼AB的法向量  
   …………..6分
(2) 設(shè)平面PAD的法向量為    
  , …………8分
 
   …………10分
 令 所以 …………12分
平面PAB的法向量  ……13分
 ,即二面角 的余弦值為   .................14分
說(shuō)明:其他建系方法酌情給分
19(本小題滿分14分)
(1) 當(dāng) 時(shí), ,由 ,得  ……………………1分
當(dāng) 時(shí),∵  ,  ,  …………………2分
∴ ,即  
  ∴               …………………………………………5分
∴ 是以 為首項(xiàng), 為公比的等比數(shù)列.…………………………………6分
故    …………………………………………7分
(2) , ……………9分
  …………………………………………11分
 
 …13分
解方程 ,得    …………………………………………14分
20(本小題滿分14分)
解 (1)由題意知 設(shè)右焦點(diǎn) 
  ………………2分
        
 橢圓方程為     ………………4分
(2)設(shè)  則   ①   ②………………6分
②-①,可得                   ………………8分
(3)由題意 ,設(shè) 
直線 ,即  代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得
 
                         ………………10分
同理                     ………………11分
當(dāng) 時(shí), 直線 的斜率 
直線 的方程為 
  又  化簡(jiǎn)得  此時(shí)直線過(guò)定點(diǎn)(0, )………13分
當(dāng) 時(shí),直線 即為 軸,也過(guò)點(diǎn)(0, )
綜上,直線過(guò)定點(diǎn)(0, )                                ………………14分    21(本小題滿分14分)
解 (1)當(dāng) 
       ……………1分
 變化如下表
 
  + 0 - 0 +
  極大值 極小值
 ,    ……………4分
(2)令  
 則          ………………………6分
 上為增函數(shù)。   ………………8分
                                …………………9分
(3)由(2)知                   …………………10分
令 得,   …………12分
 
   …………13分
                      …………14分
 
 
 
 
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