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惠州市2014屆高三第二次調(diào)研考試
數(shù) 學(xué) (理科）
本試卷共4頁(yè)，21小題，滿分150分�？荚囉脮r(shí)120分鐘。
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上。
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。
3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無(wú)效。
參考公式： 球的體積公式：
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.
1．復(fù)數(shù) 的虛部為（ ）
2．設(shè)集合 ，集合 為函數(shù) 的定義域，則 （ ）
3．設(shè) 是等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和， ,則 （ ）
4. 按右面的程序框圖運(yùn)行后,輸出的 應(yīng)為（ ）
5.“ ”是“直線 : 與 : 平行”的（ ）
充分不必要條件 必要不充分條件
充分必要條件 既不充分也不必要條件
6． 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖與左視圖均為半徑是 的圓，則這個(gè)幾何體的體積是 （ ）
7．采用系統(tǒng)抽樣方法從 人中抽取 人做問(wèn)卷調(diào)查，為此將他們隨機(jī)編號(hào)為 , ，……， ，分組后在第一組采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽到的號(hào)碼為 .抽到的 人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間 的人做問(wèn)卷 ，編號(hào)落入?yún)^(qū)間 的人做問(wèn)卷 ，其余的人做問(wèn)卷 .則抽到的人中，做問(wèn)卷 的人數(shù)為 （ ）
8．已知函數(shù) 且函數(shù) 的零點(diǎn)均在區(qū)間 內(nèi)，圓 的面積的最小值是（�。�
二、填空題（本大題共7小題，分為必做題和選做題兩部分．每小題5分，滿分30分）
（一）必做題：第9至13題為必做題，每道試題考生都必須作答．
9．若向量 則 .
10. 若 ，則 = .
11. 已知變量 滿足約束條件 則 的最大值為 .
12. 若 展開式的常數(shù)項(xiàng)是 ，則常數(shù) 的值為 .
13．已知奇函數(shù) 則 的值為 .
（二）選做題：第14、15題為選做題，考生只選做其中一題，兩題全答的，只計(jì)前一題的得分。
14．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知點(diǎn) 是曲線 上任意一點(diǎn)，則點(diǎn) 到直線 的距離的最小值是________.
15.（幾何證明選講選做題）如圖， 是圓 的直徑
延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， 是圓 的切線， 是切點(diǎn)， ，
， ， = ．
三、解答題：（本大題共6小題，滿分80分．須寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟．）
16．（本小題滿分12分）
已知函數(shù) .
(1)求函數(shù) 的最小正周期和最值；
(2)求函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間．
17．（本題滿分12分）
若盒中裝有同一型號(hào)的燈泡共 只，其中有 只合格品， 只次品。
（1） 某工人師傅有放回地連續(xù)從該盒中取燈泡 次，每次取一只燈泡，求 次取到次品的概率；
（2） 某工人師傅用該盒中的燈泡去更換會(huì)議室的一只已壞燈泡，每次從中取一燈泡，若是正品則用它更換已壞燈泡，若是次品則將其報(bào)廢（不再放回原盒中），求成功更換會(huì)議室的已壞燈泡所用燈泡只數(shù) 的分布列和
數(shù)學(xué)期望．
18.（本小題滿分14分）
四棱錐 底面是平行四邊形，面 面 ,
, , 分別為 的中點(diǎn).
（1）求證： ；
（2）求二面角 的余弦值.
19．（本小題滿分14分）
已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和是 ，且 ．
（1）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè) ，求適合方程 的正整數(shù) 的值．
20．（本小題滿分14分）
已知左焦點(diǎn)為 的橢圓過(guò)點(diǎn) ．過(guò)點(diǎn) 分別作斜率為 的橢圓的動(dòng)弦 ，設(shè) 分別為線段 的中點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若 為線段 的中點(diǎn)，求 ；
（3）若 ，求證直線 恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．
21．（本小題滿分14分）
已知函數(shù)
（1）當(dāng) 時(shí)，求函數(shù) 在 上的極值；
（2）證明：當(dāng) 時(shí)， ；
（3）證明： .
惠州市2014屆高三第二次調(diào)研考試
一．選擇題：共8小題，每小題5分，滿分40分
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D B C A D A A
1.【解析】因?yàn)?。故選B
2.【解析】集合 ，集合B為函數(shù) 的定義域，所以 ，所以 （1，2]。故選D
3【解析】 得 ，即 ，所以 ，選B
4.【解析】第一次循環(huán)： ，不滿足條件，再次循環(huán)；
第二次循環(huán)： ，不滿足條件，再次循環(huán)；
第三次循環(huán)： ，不滿足條件，再次循環(huán)；
第四次循環(huán)： ，不滿足條件，再次循環(huán)；
第五次循環(huán)： ，滿足條件，輸出S的值為40.
故選C
5.【解析】由直線 : 與 : 平行，得 ，所以“ ”是“直線 : 與 : 平行”的充分不必要條件。故選A
6.【解析】由題知該幾何體是挖去 個(gè)球的幾何體。所以 .故選D
7.【解析】由系統(tǒng)抽樣的原理知將960人分30組，所以第一組抽450/30=15人，第二組抽（750-450）/30=10，第三組抽32-15-10=7人。故選A
8.【解析】∵f（x）=1+x﹣ ，
∴當(dāng)x＜﹣1或x＞﹣1時(shí)，f'（x）=1﹣x+x2﹣x3+…+x2012= ＞0．
而當(dāng)x=﹣1時(shí)，f'（x）=2013＞0
∴f'（x）＞0對(duì)任意x∈R恒成立，得函數(shù)f（x）是（﹣∞，+∞）上的增函數(shù)
∵f（﹣1）=（1﹣1）+（﹣ ﹣ ）+…+（﹣ ﹣ ）＜0，f（0）=1＞0
∴函數(shù)f（x）在R上有唯一零點(diǎn)x0∈（﹣1，0）
∴b﹣a的最小值為0-（-1）=1.
∵圓x2+y2=b﹣a的圓心為原點(diǎn)，半徑r=
∴圓x2+y2=b﹣a的面積為πr2=π（b﹣a）≤π，可得面積的最小值為π。故選：A
二．填空題：共7小題，每小題5分，滿分30分．其中14~15題是選做題，考生只能選做一題．
9．（-2，-4） 10． 11．1 12．4 13．-8 14． 15．
9.【解析】因?yàn)?所以
10.【解析】 得 ，
又
11.【解析】?由可行域知直線過(guò)點(diǎn)（1,0）時(shí)取得最大值1
12.【解析】 ，由 ，所以 。
13.【解析】因?yàn)楹瘮?shù) 為奇函數(shù)，所以 ，即 。所以 。
14.【解析】曲線 即 ，表示圓心在（1，0），半徑等于1的圓，直線 =4，即 ，圓心（1，0）到直線的距離等于 ，所以點(diǎn)A到直線 =4的距離的最小值是 。
15.【解析】連結(jié)PO，因?yàn)镻D是⊙O的切線，P是切點(diǎn)，∠D=30°，所以∠POC=60°，
并且AO=2，∠POA=120°，PO=1
在△POA中，由余弦定理知，
三、解答題：
16. （本小題滿分12分）
解：(1)f(x) …………………………3分
…………………………4分
當(dāng) 即 時(shí)，f(x)取最大值2；…………5分
當(dāng) 即 時(shí)，f(x)取最小值-2…………6分
(2)由 ， ………………………8分
得 ………………………10分
∴單調(diào)遞減區(qū)間為 . ………………………12分
17（本小題滿分12分）
解：解：設(shè)一次取次品記為事件A，由古典概型概率公式得： ……2 分
有放回連續(xù)取3次，其中2次取得次品記為事件B，由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)得： ………4分
（2）依據(jù)知X的可能取值為1.2.3………5分
且 ………6分 ………7
………8分
則X的分布列如下表：
X 1 2 3
p
……10分
………12分
18（本小題滿分14分）
解: （1） -----2分
,所以 ---4分
---6分
(2)取 的中點(diǎn) , ---8分
是二面角
的平面角 ----------------------------10分
知
--------------------12分
即二面角 的余弦值為 ---------------14分
解法二 （1）
所以
………………………………2分
建系 令
,
……………………..4分
因?yàn)槠矫鍼AB的法向量
…………..6分
(2) 設(shè)平面PAD的法向量為
, …………8分
…………10分
令 所以 …………12分
平面PAB的法向量 ……13分
，即二面角 的余弦值為 .................14分
說(shuō)明：其他建系方法酌情給分
19（本小題滿分14分）
（1） 當(dāng) 時(shí)， ，由 ，得 ……………………1分
當(dāng) 時(shí)，∵ ， ， …………………2分
∴ ，即
∴ …………………………………………5分
∴ 是以 為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列．…………………………………6分
故 …………………………………………7分
（2） ， ……………9分
…………………………………………11分
…13分
解方程 ，得 …………………………………………14分
20（本小題滿分14分）
解 （1）由題意知 設(shè)右焦點(diǎn)
………………2分
橢圓方程為 ………………4分
（2）設(shè) 則 ① ②………………6分
②-①，可得 ………………8分
（3）由題意 ，設(shè)
直線 ，即 代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得
………………10分
同理 ………………11分
當(dāng) 時(shí)， 直線 的斜率
直線 的方程為
又 化簡(jiǎn)得 此時(shí)直線過(guò)定點(diǎn)（0， ）………13分
當(dāng) 時(shí)，直線 即為 軸，也過(guò)點(diǎn)（0， ）
綜上，直線過(guò)定點(diǎn)（0， ） ………………14分 21（本小題滿分14分）
解 （1）當(dāng)
……………1分
變化如下表
+ 0 - 0 +
↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
， ……………4分
（2）令
則 ………………………6分
上為增函數(shù)。 ………………8分
…………………9分
（3）由（2）知 …………………10分
令 得， …………12分
…………13分
…………14分
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