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惠州市2014屆高三第二次調(diào)研考試試題
數(shù) 學(xué)（文科）
本試卷共4頁，21小題，滿分150分�？荚囉脮r(shí)120分鐘。
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上．
3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上填涂相應(yīng)選項(xiàng).
1. 已知集合 ，集合 ， 表示空集，那么 （ ）
A． B． C． D．
2. 命題“存在實(shí)數(shù) ，使 ”的否定為（ ）
A．對(duì)任意實(shí)數(shù) ，都有 B．不存在實(shí)數(shù) ，使
C．對(duì)任意實(shí)數(shù) ，都有 D．存在實(shí)數(shù) ，使
3. 雙曲線 的離心率為（ ）
A． B． C． D．
4. 直線 與圓 的位置關(guān)系是（ ）
A．相切 B．相交且直線不經(jīng)過圓心
C．相離 D．相交且直線經(jīng)過圓心
5. 已知 ， ，若 ，則 等于（ ）
A． B． C． D．
6. 函數(shù) 的定義域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
7. 已知等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，若 ， ，則 為（ ）
A． B． C． D．
8. 已知函數(shù) 的部分
圖像如圖所示，則 的值分別為（ ）
A． B．
C． D．
9．已知 為兩條不同的直線， 為兩個(gè)不同的平面，給出下列4個(gè)命題：
①若 ②若
③若 ④若
其中真命題的序號(hào)為（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
10. 設(shè) 是正 及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合，點(diǎn) 是 的中心，若集合 .則集合 表示的平面區(qū)域是（ ）
A．三角形區(qū)域 B．四邊形區(qū)域
C．五邊形區(qū)域 D．六邊形區(qū)域
二、填空題：（本大題共5小題，分為必做題和選做題兩部分．每小題5分，滿分20分）
（一）必做題：第11至13題為必做題，每道試題考生都必須作答．
11.復(fù)數(shù) 的虛部為__________．
12.如圖所示，程序框圖(算法流程圖)的輸出結(jié)果為_________.
13.設(shè)變量 滿足約束條件 ，則 的
最大值為_________.
（二）選做題：第14、15題為選做題，考生只選做其中一題，兩題全答的，只計(jì)前一題的得分。
14. (坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題) 在極坐標(biāo)系下，圓 的圓心到直線 的距離為 ．
15.（幾何證明選講選做題）如圖，圓 是 的外接圓，過點(diǎn) 的切線交 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) ，且 ， ，則 的長(zhǎng)為 �。�
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
已知函數(shù) .
（1）求函數(shù) 的最小正周期和最值；
（2）求函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間．
17．（本小題滿分12分）
對(duì)某校高一年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽去了 名學(xué)生作為樣本，得到這 名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)，根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表如下：
（1）求出表中 的值；
（2）在所取樣本中，從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于 次的學(xué)生中任選 人，求至少一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間 內(nèi)的概率．
18.（本小題滿分14分）
如圖，在三棱錐 中， 底面 ,
為 的中點(diǎn), .
（1）求證： 平面 ；
（2）求點(diǎn) 到平面 的距離。
19.（本小題滿分14分）
已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和是 ，且 ．
（1）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè) ，求適合方程 的正整數(shù) 的值．
20.（本小題滿分14分）
已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為 ，焦點(diǎn)在 軸上，若右焦點(diǎn)到直線 的距離為3.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線 與橢圓相交于不同的兩點(diǎn) 、 ，當(dāng) 時(shí)，求 的取值范圍.
21．（本小題滿分14分）
已知函數(shù)
（1）若函數(shù) 在點(diǎn) 處的切線方程為 ，求 的值；
（2）若 ，函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)有唯一零點(diǎn)，求 的取值范圍；
（3）若對(duì)任意的 ，均有 ，求 的取值范圍．
惠州市2014屆高三第二次調(diào)研考試試題答案
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
題號(hào)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1．【解析】因?yàn)?，所以 ，選 ；
2．【解析】特稱命題的否定為：對(duì)任意實(shí)數(shù) ，都有 ，選 ；
3．【解析】由 可知 ， 所以 ，離心率 ，選
4．【解析】圓心 到直線 的距離為 ，而圓的半徑為 ， 距離等于半徑，所以直線與圓相切，選 ；
5．【解析】由 得 ，解得 ， 選 ；
6．【解析】要使解析式有意義，必須滿足 ，解得 ，選 ；
7．【解析】 ，即 ，得 ，據(jù)等差數(shù)列前 項(xiàng)和公式 得 ，選
8．【解析】據(jù)五點(diǎn)法可得 ，解得 ， ，選 ；
9．【解析】若 則 與 的位置關(guān)系不能確定，所以命題①錯(cuò)誤，
若 ，命題②正確，若兩平面垂直于同一條直線，則這兩平面平行，所以命題③正確，兩直線同時(shí)平行于一個(gè)平面，這兩條直線的位置關(guān)系不能確定，所以命題④正確，綜上所述，選 ；
10．【解析】因?yàn)檎切沃行臑檎切蔚闹匦�，重心為中線
的一個(gè)三等分點(diǎn)，如圖所示，圖中六邊形
區(qū)域?yàn)榧?所表示的平面區(qū)域，選 。
二、填空題（本大題共5小題，第14、15小題任選一道作答，共20分）
11． 12． 13． 14． 15．
11．【解析】由 ，可得虛部為 ；
12．【解析】第一次循環(huán)： ； 第二次循環(huán)： ；；
第三次循環(huán)： ， ；跳出循環(huán)，輸出 ；
13．【解析】不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線過點(diǎn) 時(shí)；
的值最大，即 ；
14．【解析】 化為普通方程為 ，可知圓心坐標(biāo)為 ， 化為普通方程為 ， ；
15．【解析】據(jù)切割線定理可得 ，即 ，
解得 或 ，舍去 ，所以 。
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16. （本小題滿分12分）
解：（1） …………………………3分
…………………………4分
當(dāng) 即 時(shí)， 取最大值2；…………5分
當(dāng) 即 時(shí)， 取最小值-2…………6分
（2）由 ， ………………………8分
得 ………………………10分
∴單調(diào)遞減區(qū)間為 . ………………………12分
17．（本小題滿分12分）
解：（1）因?yàn)?，所以 ……………2分
又因?yàn)?，所以 ……………3分
所以 ， ……………4分
（2）設(shè)參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在 內(nèi)的學(xué)生為 ，參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在 內(nèi)的學(xué)生為 ； ……………5分
任選 名學(xué)生的結(jié)果為：
共 種情況 ； ……………8分
其中至少一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間 內(nèi)的情況有
，共 種情況…10分
每種情況都是等可能出現(xiàn)的，所以其中至少一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間 內(nèi)的概率為 . ……………12分
18.（本小題滿分14分）
證明：（1）因?yàn)?平面 ， 平面 ，
所以 …………2分
又因?yàn)樵?中， ， 為 的中點(diǎn)，
所以 …………4分
又 平面 ， 平面 ，且 ，
所以 平面 ………6分
（2）法一：因?yàn)?平面 且 平面
所以平面 平面 ， ……………8分
又因?yàn)槠矫? 平面 ，
所以點(diǎn) 到 的距離 即為點(diǎn) 到平面 的距離， ……………10分
在直角三角形 中，由 ……………11分
得 ……………13分
所以點(diǎn) 到平面 的距離為 . ………………………14分
法二：設(shè)點(diǎn) 到平面 的距離為 ， 據(jù) ………8分
即 ，得 ………………………13分
所以點(diǎn) 到平面 的距離為 . ………………………14分
19．（本小題滿分14分）
（1） 當(dāng) 時(shí)， ，由 ，得 ……………………1分
當(dāng) 時(shí)，∵ ， ， …………………2分
∴ ，即
∴ …………………………………………5分
∴ 是以 為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列．…………………………………6分
故 …………………………………………7分
（2） ， ……………9分
…………………………………………11分
……13分
解方程 ，得 …………………………………………14分
20.（本小題滿分14分）
解: （1）依題意可設(shè)橢圓方程為 ，………………………….2分
則右焦點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ， ………………………….3分
由題意得 ，解得 ，
故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 . ………………………….5分
（2）設(shè) 、 、 ，其中 為弦 的中點(diǎn)，
由 ，得 …………………….7分
因?yàn)橹本�與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，所以
即 ①， ………………………….8分
，所以 ，
從而 , ………………………….9分
所以 ， ………………………….10分
又 ，所以 ，
因而 ，即 ②， ……………………….11分
把②式代入①式得 ，解得 ， ………………………….12分
由②式得 ，解得 ， ………………………….13分
綜上所述，求得 的取值范圍為 . ………………………….14分
21．（本小題滿分14分）
(1) ，所以 ，得 .………………2分
又 ，所以 ，得 .………………3分
（2） 因?yàn)?所以 ， .………………4分
當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)，
所以 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增 ………………5分
又 ，可知 在區(qū)間 內(nèi)有唯一零點(diǎn)等價(jià)于
或 ， .………………7分
得 或 . .………………8分
(3) 若對(duì)任意的 ，均有 ，等價(jià)于
在 上的最大值與最小值之差 ……………10分
（ⅰ） 當(dāng) 時(shí)，在 上 ， 在 上單調(diào)遞增，
由 ，得 ，
所以 .………………9分
（ⅱ）當(dāng) 時(shí)，由 得
由 得 或
所以 ，同理 .………………10分
當(dāng) ，即 時(shí)， ，與題設(shè)矛盾；
.………………11分
當(dāng) ，即 時(shí)， 恒成立；……………12分
當(dāng) ，即 時(shí)， 恒成立；
.………………13分
綜上所述， 的取值范圍為 . .………………14分
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