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韶關(guān)2014屆高三年級調(diào)研測試(一)
本試卷共4頁,21小題,滿分150分.考試用時120分鐘.
注意事項:
1.答卷前,考生要務(wù)必填寫答題卷上密封線內(nèi)的有關(guān)項目.
2.選擇題每小題選出答案后,用鉛筆把答案代號填在答題卷對應(yīng)的空格內(nèi).
3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi);如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新的答案;不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.
4.請考生保持答題卷的整潔.考試結(jié)束后,將答題卷和答題卡交回.
參考公式:錐體的體積公式 ,其中S為錐體的底面面積, 為錐體的高.
一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,滿分50分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1. 設(shè) 集合 , ,則 ( )
2. 已知 是實數(shù), 是純虛數(shù),則 等于( )
A. B. C. D.
3.若 ,則有( ).
A. B. C. D.
4. 在區(qū)間 之間隨機抽取一個數(shù) ,則 滿足 的概率為( )
A. . B. C. D.
5. 閱讀如圖的程序框圖.若輸入n=5,則輸出k的值為( )
A. B. C. D.
6.已知橢圓與雙曲線 的焦點相同,且橢圓上任意一點到兩焦點的距離之和為 ,那么橢圓的離心率等于( )
A. B. C. D.
7.已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( )
A. B. C. D.
8. 函數(shù) 是( )
A.最小正周期為 的奇函數(shù) B.最小正周期為 的偶函數(shù)
C.最小正周期為 的奇函數(shù) D.最小正周期為 的偶函數(shù)
9. 已知向量 與 的夾角為 ,且 ,若 ,且, ,則實數(shù) 的值為( )
A. B. C. D.
10. 已知函數(shù) ,且函數(shù) 有且只有一個零點,則實數(shù) 的取值范圍是( )
A. B. . D.
二、填空題:本大共5小題,考生作答4小題,每小題5分,滿分20分.
(一)必做題(11~13題)
11. 等差數(shù)列 的前 項和為 ,若 ,則
12. 設(shè)實數(shù)x、y滿足 ,則 的最大值是_____________.
13.設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位:kg)與身高x(單位:cm)具有線性相關(guān)關(guān)系,根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回歸方程為 =0.85x-85.71,給定下列結(jié)論:
①y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系;
②回歸直線過樣本點的中心( , );
③若該大學(xué)某女生身高增加1cm,則其體重約增加0.85kg;
④若該大學(xué)某女生身高為170cm,則可斷定其體重必為58.79kg.
其中正確的結(jié)論是 .
(二)選做題(14~15題,考生只能從中選做一題)
14. (坐標系與參數(shù)方程選做題)在極坐標系中,圓 的圓心到直線 的距離是 .
15. (幾何證明選講選做題)如圖, 是圓 的直徑,點 在圓 上,延長 到 使 ,過 作圓 的切線交 于 .若 , 則 _________.
三、解答題:本大題共6小題,滿分80分,解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16.(本題滿分12分)
某學(xué)校隨機抽取部分新生調(diào)查其上學(xué)路上所需時間(單位:分鐘),并將所 得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖),其中,上學(xué)路上所需時間的范圍是 ,樣本數(shù)據(jù)分組為 , , , , .
(1)求直方圖中 的值;
(2)如果上學(xué)路上所需時間不少于40分鐘的學(xué)生可申請在學(xué)校住宿,請估計學(xué)校1000名新生中有多少名學(xué)生可以申請住宿.
17. (本題滿分12分)
如圖,在 中, , , ,點 是 的中點.
(1)求邊 的長;
(2)求 的值和中線 的長.
18.(本題滿分14分)
如圖所示的多面體中, 是菱形, 是矩形, 面 , .
(1)求證:平 ;
(2))若 ,求四棱錐 的體積.
19.(本題滿分14分)
已知函數(shù) .
(1)當(dāng) 時,求函數(shù) 單調(diào)區(qū)間;
(2) 若函數(shù) 在區(qū)間[1,2]上的最小值為 ,求 的值.
20.(本題滿分14分)
已知 為公差不為零的等差數(shù)列,首項 , 的部分項 、 、…、 恰為等比數(shù)列,且 , , .
(1)求數(shù)列 的通項公式 (用 表示);
(2)若數(shù)列 的前 項和為 ,求 .
21.(本題滿分14分)
設(shè)拋物線 的焦點為 ,點 ,線段 的中點在拋物線上. 設(shè)動直線 與拋物線相切于點 ,且與拋物線的準線相交于點 ,以 為直徑的圓記為圓 .
(1)求 的值;
(2)證明:圓 與 軸必有公共點;
(3)在坐標平面上是否存在定點 ,使得圓 恒過點 ?若存在,求出 的坐標;若不存在,說明理由.
( 文科)參考答案和評分標準
說明:1.參考答案與評分標準指出了每道題要考查的主要知識和能力,并給出了一種或幾種解法供參考,如果考生的解法與參考答案不同,可根據(jù)試題主要考查的知識點和能力比照評分標準給以相應(yīng)的分數(shù).
2.對解答題中的計算題,當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時,如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度,可視影響的程度決定后繼部分的得分,但所給分數(shù)不得超過該部分正確解答應(yīng)得分數(shù)的一半;如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤,就不再給分.
3.解答右端所注分數(shù),表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分數(shù).
4.只給整數(shù)分數(shù),選擇題和填空題不給中間分.
一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
CAAAB BCADB
1. 解析: ,所以 ,選C
2.解析: 是純虛數(shù),則 ; ,選A
3. 解析: , , , 選A.
4.解析:區(qū)間 看作總長度為2,區(qū)間 中滿足 的只是 ,長度為 ,因為 是隨機抽取的一個數(shù),由幾何概型計算公式知 滿足 的概率為 .答案:
5. 答案:B
6. 解析: , , 選B
7. 解析:由三視圖易知,該幾何體是底面積為 ,高為3的三棱錐,由錐體的體積公式得 .答案:C
8. 解析: ,所以 是最小正周期為 的奇函數(shù),選A
9. 解析: 得
選D
10. 解析:如圖,在同一坐標系中分別作出 與
的圖象,解析:如圖,在同一坐標系中分別作出 與
的圖象,其中a表示直線在y軸上截距,由圖可知,當(dāng) 時,
直線 與 只有一個交點.,選B
二、填空題:本大共5小題,考生作答4小題,每小題5分,滿分20分.
11. 12. 13. ①②③ 14. 15.
題目解析:
11. 解析:可已知可得,
12. 解析由可行域知,當(dāng) 時,
13. 解析:利用概念得到①②③正確
14.解析:如下圖:
15. 解析:如下圖: ,得
三、解答題:本大題共6小題,滿分80分,解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16.(本題滿分12分)
解:(1)由 ,………………………….4分
則 ………………………….6分
(2)上學(xué)所需時間不少于40的學(xué)生的頻率為:
………………………….8分
估計學(xué)校1000名新生中有: ………………………….11分
答:估計學(xué)校1000名新生中有250名學(xué)生可以申請住宿. …………………12分
17.(本題滿分12分)
解:在 中,由 可知, 是銳角,
所以, ………………………….2分
由正弦定理 ……5分
(2)
………………………………………………8分
由余弦定理:
………………. …………………………………………………………………12分
18.(本題滿分14分)
證明:(1)由 是菱形
………………………………3分
由 是矩形
………………………………6分
(2)連接 ,
由 是菱形,
由 面 ,
,……………………………………………10分
則 為四棱錐 的高
由 是菱形, ,
則 為等邊三角形,
由 ;則
, ………………………………………14分
19. (本題滿分14分)
解:(1)解: ……………1分
因為 ,所以 對任意實數(shù) 恒成立,
所以 在 是減函數(shù)…………………4分
(2)當(dāng) 時,由(1)可知, 在區(qū)間[1,2]是減函數(shù)
由 得 ,(不符合舍去)…………………6分
當(dāng) 時, 的兩根 …………………7分
①當(dāng) ,即 時, 在區(qū)間[1,2]恒成立, 在區(qū)間[1,2]是增函數(shù),由 得 …………………9分
②當(dāng) ,即 時 在區(qū)間[1,2]恒成立 在區(qū)間[1,2]是減函數(shù)
, (不符合舍去)…………………11分
③當(dāng) ,即 時, 在區(qū)間 是減函數(shù), 在區(qū)間 是增函數(shù);所以 無解…………………13分
綜上, …………………14分
20. (本題滿分14分)
解:(1) 為公差不為 ,由已知得 , , 成等比數(shù)列,
∴ ,……………………………1分
得 或 ……………………………2分
若 ,則 為 ,這與 , , 成等比數(shù)列矛盾,
所以 , ……………………………4分
所以 . ……………………………5分
(2)由(1)可知
∴ ……………………………7分
而等比數(shù)列 的公比 。
……………………………9分
因此 ,
∴
……………………………11分
∴
……………………………14分
解:(1)利用拋物線的定義得 ,故線段 的中點的坐標為 ,代入方程得 ,解得 。 ……………………………2分
(2)由(1)得拋物線的方程為 ,從而拋物線的準線方程為
……………………………3分
由 得方程 ,
由直線與拋物線相切,得 ……………………………4分
且 ,從而 ,即 , ……………………………5分
由 ,解得 , ……………………………6分
∴ 的中點 的坐標為
圓心 到 軸距離 ,
∵
所圓與 軸總有公共點. ……………………………8分
(或 由 , ,以線段 為直徑的方程為:
令 得
,所圓與 軸總有公共點).
……………………………9分
(3)假設(shè)平面內(nèi)存在定點 滿足條件,由拋物線對稱性知點 在 軸上,設(shè)點 坐標為 , ……………………………10分
由(2)知 ,
∴ 。
由 得,
所以 ,即 或
……………………………13分
所以平面上存在定點 ,使得圓 恒過點 .
……………………………14分
證法二:由(2)知 , , 的中點 的坐標為
所以圓 的方程為
……………………………11分
整理得
……………………………12分
上式對任意 均成立,
當(dāng)且僅當(dāng) ,解得 ……………………………13分
所以平面上存在定點 ,使得圓 恒過點 .
……………………………14分
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