2014廣東韶關(guān)一?荚嚁(shù)學(xué)(理)試題及答案

學(xué)習(xí)頻道    來(lái)源: 陽(yáng)光學(xué)習(xí)網(wǎng)      2024-07-20         

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2014韶關(guān)一模數(shù)學(xué)(理科)
 
本試卷共4頁(yè),共21小題,滿分150分. 考試用時(shí)120分鐘.
注意事項(xiàng):
1.答卷前,考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)填寫在答題卡上。用2B鉛筆將答題卡試卷類型(A)填涂在答題卡上。在答題卡右上角的“試室號(hào)”和“座位號(hào)”欄填寫試室號(hào)、座位號(hào),將相應(yīng)的試室號(hào)、座位號(hào)信息點(diǎn)涂黑.
2.選擇題每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案,不能答在試卷上.
3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫上新的答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無(wú)效.
4.考試結(jié)束后,將試卷和答題卡一并交回.
參考公式:棱錐的體積公式: , 是棱錐底面積, 是棱錐的高.
一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 設(shè)集合 , ,,則 (    )   
                                     
2.已知 是實(shí)數(shù), 是純虛數(shù),則 等于(  )
A.          B.        C.        D.  
3. 若 ,則有(    ).
A.       B. C.  D. 
4. 已知橢圓與雙曲線 的焦點(diǎn)相同,且橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為 ,那么橢圓的離心率等于(     )
A.          B.         C.         D.  
5. 函數(shù) 是(   )
A.最小正周期為 的奇函數(shù)            B.最小正周期為 的偶函數(shù)
C.最小正周期為 的奇函數(shù)             D.最小正周期為 的偶函數(shù)
6. 已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為(   )
A.     B.       C.            D. 
7. 已知向量 與 的夾角為 ,且 ,若 ,且, ,則實(shí)數(shù) 的值為(    )
A.          B.        C.      D. 
8. 設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足 ,則 的取值范圍是(   )
A.       B.       C.        D. 
 
二、填空題:本大題共7小題,考生作答6小題,每小題5分,滿分30分.
(一)必做題(9~13題)
9. 等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ,若 ,則         
10.已知函數(shù) ,則曲線 在點(diǎn) 處的切線方程為___________. 
11. 已知實(shí)數(shù) ,執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的 不小于47的概率為 。 
12. 不等式 解集是_____________________. 
13. 已知函數(shù) ,且關(guān)于x的方程 有且只有一個(gè)實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
 
(二)選做題(14、15題,考生只能從中選做一題)
14.(幾何證明選講選做題)如圖, 是圓 的直徑,點(diǎn) 在圓 上,延長(zhǎng) 到 使 ,過 作圓 的切線交 于 .若 ,, 則 _________.
15.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在極坐標(biāo)系中,圓 的圓心到直線  的距離是           
 
 
三、解答題:本大題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16. (本小題滿分12分)
如圖,在 中, , , ,點(diǎn) 是 的中點(diǎn), 求:
(1)邊 的長(zhǎng);
(2) 的值和中線 的長(zhǎng).
 
 
 
17. (本小題滿分12分)
某學(xué)校隨機(jī)抽取部分新生調(diào)查其上學(xué)路上所需時(shí)間(單位:分鐘),并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖),其中,上學(xué)路上所需時(shí)間的范圍是 ,樣本數(shù)據(jù)分組為 , , , , .
(1)求直方圖中 的值;
(2)如果上學(xué)路上所需時(shí)間不少于60分鐘的學(xué)生可申請(qǐng)?jiān)趯W(xué)校住宿,請(qǐng)估計(jì)學(xué)校1000名新生中有多少名學(xué)生可以申請(qǐng)住宿;
(3)現(xiàn)有6名上學(xué)路上時(shí)間小于 分鐘的新生,其中2人上學(xué)路上時(shí)間小于 分鐘. 從這6人中任選2人,設(shè)這2人中上學(xué)路上時(shí)間小于 分鐘人數(shù)為 ,求 的分布列和數(shù)學(xué)期望.
 
 
18. (本小題滿分14分)
如圖所示的多面體中,  是菱形, 是矩形, 平面 , , .
(1) 求證:平面 平面 ;
(2) 若二面角 為直二面角,求直線 與平面 所成的角 的正弦值.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19.(本小題滿分14分)
已知函數(shù)  
(1)當(dāng) 時(shí),求 的單調(diào)區(qū)間;
(2)若 在 的最大值為 ,求 的值.
 
  
 
 
 
 
20.(本小題滿分14分)
已知 為公差不為零的等差數(shù)列,首項(xiàng) , 的部分項(xiàng) 、 、…、 恰為等比數(shù)列,且 , , .
(1)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式 (用 表示);
(2)設(shè)數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 , 求證: ( 是正整數(shù)).
 
 
Ks5u
 
 
 
21.(本小題滿分14分)
設(shè)拋物線 的焦點(diǎn)為 ,點(diǎn) ,線段 的中點(diǎn)在拋物線上. 設(shè)動(dòng)直線 與拋物線相切于點(diǎn) ,且與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn) ,以 為直徑的圓記為圓 .
(1)求 的值;
(2)試判斷圓 與 軸的位置關(guān)系;
(3)在坐標(biāo)平面上是否存在定點(diǎn) ,使得圓 恒過點(diǎn) ?若存在,求出 的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
 
2014屆韶關(guān)一模數(shù)學(xué)(理科)參考答案
一、選擇題:本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.共8小題,每小題5分,滿分40分. 
CAABA  CDB
題目解析:
1. 解析: ,所以  ,選C
2.解析: 是純虛數(shù),則 ; ,選A
3. 解析:  , , , 選A.
4. 解析: , ,  選B
5. 解析: ,所以 是最小正周期為 的奇函數(shù),選A
6. 解析:由三視圖易知,該幾何體是底面積為 ,高為3的三棱錐,由錐體的體積公式得 .選C Ks5u
 
7. 解析:  得
 ,選D
8. 解析::作出可行域如圖,當(dāng)平行直線系 在直
線BC與點(diǎn)A間運(yùn)動(dòng)時(shí), ,此時(shí)
 ,平行直線線 在點(diǎn)
O與BC之間運(yùn)動(dòng)時(shí), ,此時(shí), .   .選B
二、填空題:本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.本大題共7小題,考生作答6小題,每小題5分,滿分30分.其中14~15題是選做題,考生只能選做一題.
 9.        10.  ,     11.     12.       13. 
14.       15. .  
題目解析:
9. 解析:可已知可得, 
10. 解析:由幾何概型得到輸出的x不小于47的概率為P= = 
11. 解析: , ,  切線方程  ,即  Ks5u
 
12. 解析:設(shè) ,則 .由 ,解得 ,所以解集為 
13. 解析:如圖,在同一坐標(biāo)系中分別作出 與 的圖象,
其中a表示直線在y軸上截距,由圖可知,當(dāng) 時(shí),直線 
與 只有一個(gè)交點(diǎn).
14. 解析:利用已知條件可得 ,  
15. 解析:如下圖, 設(shè)圓心到直線距離為 ,因?yàn)閳A的半徑為 , 
 
 
 
 
 
三、解答題:本大題共6小題,滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.
16.(本題滿分12分) 
解:解:由 可知, 是銳角,
所以, ………………………….2分
由正弦定理      
………………. ………………………………………………………………………5分
(2)  
 ………………………………………………8分
由余弦定理:
 
………………. ………………………………………………12分
17. (本題滿分12分) 
(1)由直方圖可得:
 .[學(xué)所以  .……………………………2分
(2)新生上學(xué)所需時(shí)間不少于60分鐘的頻率為:
 …………………………………4分
因?yàn)?nbsp;
所以 名新生中有 名學(xué)生可以申請(qǐng)住宿.………………6分
(3) 的可能取值為0,1,2.  …………………………………7分
所以 的可能取值為 ………………………………7分
    
   
所以 的分布列為:
 
0 1 2
 
 
 
 
 
………………………11分
 
 ………………………………12分
 
18.(本小題滿分14分)
(1)矩形 中, --------1分
 平面 , 平面 , 平面 ,-2分
同理 平面 ,-------3分
又 u 平面 ∥平面 ------4分
(2)取 的中點(diǎn) .
由于 面 ,  ∥ ,  
又 是菱形, 是矩形,所以, 是全等三角形,  
所以 , 就是二面角 的平面角-------8分
 
解法1(幾何方法):
延長(zhǎng) 到 ,使 ,由已知可得, 是平行四邊形,又 矩形,所以 是平行四邊形, 共面,由上證可知,   , , 相交于 , 平面 , 為所求.
由 , ,得 
等腰直角三角形 中, ,可得 
直角三角形 中, 
解法2幾何方法):由 , , 得 平面 ,欲求直線 與平面 所成的角,先求 與 所成的角. ------12分
連結(jié) ,設(shè) 則在 中, , ,用余弦定理知   ---14分
解法3(向量方法):以 為原點(diǎn), 為 軸、 為 軸
建立如圖的直角坐標(biāo)系,由 則 ,
 ,平面 的法向量 , -------12分
 .   ---14分
19.(本小題滿分14分)
解:(1)    ……………………………………….1分
 其判別式 ,
因?yàn)?, 所以,   ,對(duì)任意實(shí)數(shù),  恒成立,Ks5u
 
   所以, 在 上是增函數(shù)……………………………………….4分
(2)當(dāng) 時(shí),由(1)可知, 在 上是增函數(shù),所以 在 的最大值為 ,由 ,解得  (不符合,舍去)……………………………6分
   當(dāng) 時(shí) , ,方程 的兩根為
     ,  ,………………………………………8分
 圖象的對(duì)稱軸 
   因?yàn)?    
(或  ), 所以    
由  解得  
 ①當(dāng) , ,因?yàn)?,所以  時(shí), , 在 是減函數(shù), 在 的最大值 ,由 ,解得  (不符合,舍去).………………………………….………………………12分
 ②當(dāng) , , , , 在 是減函數(shù),  當(dāng) 時(shí), , 在 是增函數(shù).所以 在 的最大值 或 ,由  ,  ,解得  (不符合,舍去), ……………………14分
綜上所述 
20.(本小題滿分14分)
解:(1)設(shè)數(shù)列 的公差為 ,
由已知得 , , 成等比數(shù)列,
∴    ,且 ……………………………2分
得 或    
∵ 已知 為公差不為零
∴     ,                     ……………………………3分
∴    .   ……………………………4分
(2)由(1)知        ∴      
                                             ……………………………5分
而等比數(shù)列 的公比 .
∴                       ……………………………6分
因此  ,
∵  
∴                                   ……………………………7分
∴     
                                                ……………………………9分
∵當(dāng) 時(shí), 
  
∴   (或用數(shù)學(xué)歸納法證明此不等式)
∴         ……………………………11分
∴當(dāng) 時(shí), ,不等式成立;
當(dāng) 時(shí),  
                             
綜上得不等式  成立.
……………………………14分
法二∵當(dāng) 時(shí), 
  
∴   (或用數(shù)學(xué)歸納法證明此不等式)
∴     ……………………………11分
∴當(dāng) 時(shí), ,不等式成立;
當(dāng) 時(shí), ,不等式成立;
當(dāng) 時(shí),  
                             
綜上得不等式  成立.
……………………………14分
(法三) 利用二項(xiàng)式定理或數(shù)學(xué)歸納法可得: 
   所以, 時(shí), ,
     
    時(shí),  綜上得不等式  成立.
20.(本小題滿分14分)
解:(1)利用拋物線的定義得 ,故線段 的中點(diǎn)的坐標(biāo)為 ,代入方程得 ,解得 。                      ……………………………2分
(2)由(1)得拋物線的方程為 ,從而拋物線的準(zhǔn)線方程為 
……………………………3分
由 得方程 ,
由直線與拋物線相切,得         ……………………………4分
且 ,從而 ,即 ,         ……………………………5分
由 ,解得 ,           ……………………………6分
∴ 的中點(diǎn) 的坐標(biāo)為  Ks5u
 
圓心 到 軸距離 ,
  
∵ 
                    ………………………………………8分
∵ ,
∴   當(dāng) 時(shí), ,圓 與 軸相切;
當(dāng) 時(shí), ,圓 與 軸相交;……………………9分
(或,以線段 為直徑圓的方程為: 
令 得    
∴   當(dāng) 時(shí), ,圓 與 軸相切;
當(dāng) 時(shí), ,圓 與 軸相交;……………………9分
(3)方法一:假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn) 滿足條件,由拋物線對(duì)稱性知點(diǎn) 在 軸上,設(shè)點(diǎn) 坐標(biāo)為 ,…………………………………………………………………………10分
由(2)知 , 
∴   。
由 得, 
所以 ,即 或 
……………………………13分
所以平面上存在定點(diǎn) ,使得圓 恒過點(diǎn) .  
……………………………14分
證法二:由(2)知 , , 的中點(diǎn) 的坐標(biāo)為 
 
所以圓 的方程為 
……………………………11分
整理得 
……………………………12分
上式對(duì)任意 均成立,
當(dāng)且僅當(dāng) ,解得  ……………………………13分
 
 
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